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《4.2.1曲线的极坐标方程的意义》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、曲线的极坐标方程的意义1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置?2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义?3、求曲线方程的步骤。复习回顾1.情境:以极点O为圆心,1为半径的圆上任意一点极径为1,反过来,极径为1的点都在这个圆上。知识探究2.问题:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗?因此,以极点为圆心,1为半径的圆可以用方程ρ=1来表示.3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(r,q)=0;反之,极坐标适合方程f(r,q)=0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称
2、为这个极坐标方程的曲线.在直角坐标平面上,曲线可以用x、y的二元方程f(x,y)=0来表示,这种方程也称为曲线的直角坐标方程。同理,在极坐标平面上,曲线也可以用关于r、q的二元方程f(r,q)=0来表示,这种方程称为曲线的极坐标方程。由于点的极坐标表示不唯一,因此,在极坐标系中,曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标,但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。由于点的极坐标表示不唯一,导致曲线的极坐标方程也不唯一。如:以极点O为圆心,1为半径的圆可以用方程r=1表示,也可以用方程r=-1表示.说明:例1、求
3、过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程解:如图所示,在所求直线l上任取一点P(r,q),连结OP,则OP=r,∠POA=q在Rt△POA中,由于OPcosq=OA,所以rcosq=2,所以rcosq=2为所求直线的极坐标方程。θOxρP(ρ,θ)A(2,0)求曲线的极坐标方程:类似于曲线直角坐标方程的求法,可以求曲线的极坐标方程。变式训练1:已知点P的极坐标为(1,π),那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。例2、求圆心在C(r,0),半径为r的圆的极坐标方程。解:如图所示,则
4、OP
5、=
6、OA
7、cos∠PO
8、A所以,所求圆的极坐标方程为r=2rcosq设P(r,q)为圆上任意一点,设圆与极轴另一交点为A(2r,0),则OP⊥AP即r=2rcosq
9、OA
10、=2r,∠POA=q变式训练2:求圆心在C(r,π/2),半径为r的圆的极坐标方程。解:如图所示,由题意可知,所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上,而圆周经过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A,则A点的极坐标为(2r,π/2)。设圆上任意一点为P(ρ,θ),连结PA,则|OP|=ρ,∠POx=θ在Rt△POA中,由于cos∠POA=
11、OP
12、/
13、OA
14、,所
15、以ρ=2rsinθ为所求圆的极坐标方程。特别地,我们知道,在直角坐标系中,x=k(k为常数)表示一条平行于y轴的直线;y=k(k为常数)表示一条平行于x轴的直线。我们可以证明(具体从略),在极坐标系中,r=k(k为常数)表示圆心在极点、半径为k的圆;θ=k(k为常数)表示极角为k的一条直线(过极点)。第一步 建立适当的极坐标系;第二步 在曲线上任取一点P(r,q)第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式;第四步 用极坐标r、q表示上述等式,并化简得极坐标方程;第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标程。求曲线极坐标方程
16、的基本步骤:例3、(1)化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程ρ=6cos(q-π/3)为直角坐标方程。数学运用1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程:(1)rcosq=4(2)r=5(3)r=2rsinq(1)解:把代入上式,得它的直角坐标方程x=4把r2=x2+y2代入上式,得它的直角坐标方程x2+y2=25变式训练3:(2)解:两边同时平方,得r2=25(3)解:两边同时乘以r,得r2=2rrsinq,把r2=x2+y2,rsinq=y代入上式,得它的直角坐标方程x2+y2=2ry
17、即x2+(y-r)2=r21.在极坐标系中,我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置.2.极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系,同一个点可以用极坐标表示,也可以用直角坐标表示,这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法.①②课堂小结