2.5特征值与特征向量 (2)

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1、矩阵与变换特征向量与特征值问题探究1、计算下列结果：以上的计算结果与的关系是怎样的？2、计算下列结果：以上的计算结果与的关系是怎样的？问题探究Ma＝lal为矩阵M的特征值,a为矩阵M的属于特征值l的特征向量。特征值及特征向量的定义设矩阵A＝，如果对于实数l，存在一个非零向量a，使得Aa=la，则称l是矩阵A的一个特征值。α是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上。这时，特征向量或者方向不变(l>0)，或者方向相反(l<0).特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量.设l是矩阵A=的一个特征值，它的一个特征向量为则即满足方程

2、组故因l≠0，所以x,y不全为0，此时Dx=0、Dy=0.则D=0即设矩阵A＝，l∈R，我们把行列式称为A的特征多项式。分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f(l)=0此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解即为矩阵A的属于l的一个特征向量.例题评析例1、求出矩阵A=的特征值和特征向量能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？思考：总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：其几何意义是什么？如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。【定理1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【定理2

3、】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：探究：1、矩阵A=的特征向量是什么？怎样从几何角度加以解释？2、从几何角度解释的特征向量。知识回顾2、自学课本68至69页内容，总结求的步骤。新课讲解建构数学任意向量都可以用特征向量来表示。