旋度、散度、电场强度

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1、电磁场欢迎学习四川大学电气信息学院电工电子基础教学实验中心朱英伟学习内容回顾0引言1.1电磁场物理模型的构成1.2矢量分析1.3场论基础科学内涵和应用领域发展历程与发展简史考察标量场等值面的变化率。设等值面方程为(x,y,z)=C。标量场梯度的图示标量场的特性分析梯度是描述标量场各点最大空间变化率的矢量。方向导数是描述标量场各点空间变化率的数值。电磁场是矢量场，矢量场的性质由其散度和旋度确定.——通量源强度的量度——旋涡源强度的量度矢量场的特性分析？散度是通量（矢量面积分）的体密度，旋度是环量（矢量线积

2、分）的面密度。考察环向矢量F的环量密度，取其围定的微小面积为S，令en为S的法向单位矢量，它与环向矢量l构成右螺旋关系，则定义旋度为：1.矢量场的旋度是一个矢量；2.其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向en；3.其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量。2.矢量场的旋度旋度描述了旋涡源的强度，也表明了场的形状。旋度表达式旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数;点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值;在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场

3、(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向;若矢量场处处A=0，称之为无旋场。无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即存在矢量恒等式可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即一般称标量是矢量场F的标量位。静电场的电场强度E旋度处处为零，静电场是一个无旋场，因此，电场强度E可以表示为标量电位的梯度，即1.通量通量：矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即1.3.3矢量场的散度一般取曲面的外侧为正侧，即由内侧指向外侧为法向正方向

4、。闭合面通量：>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)如果S为闭合曲面，一般取其外表面法线向外为正方向。表示穿出闭合面S的净通量。例：如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：闭合面通量物理意义：表示穿入穿出曲面矢量通量的代数和。在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。考察矢量F对闭合通量的体密度。作包围P点的一相当小的封闭曲面S如图示，则当V→0时，即V收缩为P

5、点时，定义通量对于体积V的变化率的极限值为矢量F在P点的散度，记作2.矢量场的散度1.散度是一个标量；2.它可以理解为通过包围单位体积闭合面的通量，即通量的体密度；3.它可以判断通量源(有无源、正负源)。散度描述了发散源的强度，也表明了场的形状。散度的计算：不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体散度的物理意义在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。

6、(无源）(正源)(负源)无散场：无散场是散度恒为零的场，即由矢量恒等式可以看出，任意矢量场A的旋度的散度恒等于零。无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即一般称A是矢量场F的矢量位。恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为零，恒定磁场是一个无散场，因此，磁感应强度B可以表示矢量磁位A的旋度，即。方向导数梯度通量散度环量环量面密度旋度取体密度取最大值取最大值梯度、散度、旋度定义：判断下列矢量场的散度和旋度是否为零？上式称为散度定理,也称为高斯公式。1.3.4高斯定理既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知

7、,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。散度定理的物理意义：因为旋度代表环量的面密度,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。1.3.5斯托克斯定理同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的

8、关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域S中的场和包围区域S的闭合曲线l上的场之间的关系。因此，如果已知区域S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界l上的场，反之亦然。1.3.6唯一性定理+亥姆霍兹定理在空间有限区域V内的某一矢量场F，由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即式中研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出