静电场的散度和旋度.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途§1.7静电场的散度和旋度 现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程。1。矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848)在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点（x,y，z)的小体积△V，其闭合曲面为S,定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限(1.7-1）为矢量场A在该点的散度（divergenceofA）它是一个标量。显然若则该点散度▽·A≠0,该点就是矢量场A的一个源点若则该点散度▽·A=0，该点不是矢量场A的源点若所有点上均有▽·A=0,A就称为无散场。在直角坐标系中（1.7—2)▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850。

2、高斯定理（Gauss，Theorem)个人收集整理勿做商业用途对任意闭合曲面S及其包围的体积V,下述积分变换成立：（1.7—3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.由此可知,若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零,它就是无散场,即处处有▽·A=0。这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线。2.电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程（1。7—4)其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理（1.7-3)），（1.7—4）的左边可化为V内E的散度之体积分，因此有设想体积V缩小成包含某点P(x,y，z）的无限小体积元dV，

3、便得（1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r≠0的点上▽·E≠0,这些点就是电场的源点.3。矢量场的旋度和斯托克斯定理(参见教材P853）在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S是L围成的面积元矢量,个人收集整理勿做商业用途并且约定：面积元△S的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则。当△S缩小成某点P（x，y，z）的无限小邻域，定义如下极限(1。7—6）为矢量场A的旋度▽×A(curlofA，rotationofA)在方向的投影按上述约定若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋若(▽×A）

4、n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋若(▽×A)n=0，A线在该点不形成涡旋如果在所有点上均有▽×A=0，则A场就称为无旋场在直角坐标系中，A的旋度为(1。7—7)▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式,见教材P855.斯托克斯定理（Stokes，Theorem）对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：(1。7-8）即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量,等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分。由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零-—保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A=0.4.静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L，E的环量均

5、为零(1。7-9）个人收集整理勿做商业用途据斯托克斯定理（1.7—8),我们可得到(1.7-9)的微分形式▽×E=0(1。7—10）这表示，静电场是无旋场。如大家所知，静电场的E线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡旋状的结构磁场线（B线)则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构.(1.7—5)和(1.7-10）是静电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：（1。7—5）▽×E=0（1。7—10）（1)这两个方程分别是静电场的高斯定理和环路定理的微分形式（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质：电荷分布点是电场的源点静电场的场线无

6、涡旋状结构