《高等数学教学资料》答案-第6章定积分的应用

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1、第6章定积分的应用1.求由两抛物线)'二兀与y2=-x+4所用成的面积解:先求出两抛物线的交点，(2,V2),(2,-V2),由对称性，只要求位于第一彖限的而积的两倍即可，关于=16a/2/3>/2y积分较方便,2f(4-2y2)dy=4(2y-y3/3)02.求由双曲线y=x+!兀与两肓线x=2^y=2所围图形的而积解：双曲线在x=l处达到极小值2,边界线的交点为(1,2),(2,5/2),(2,2)关于x积分较简单3•求三叶玫瑰线在极处标下的曲线厂=asin(3&)>0,tz>0围成的面积解：由对称也只需求!110<^<

2、^/3的一叶的面积，乘以3则得所求面积,□広/3q2兀/3$2兀/3A=-frd3=—[sin2(3^)d^=—f(1-cos(60))d&=2J2J4J厶0厶0"o4•求山双曲线y=l/x,三直线y=4x.x=2.y=0所围成平面图形绕兀轴旋转所成的旋转体的体积V=7T<1/22]、f16x2dr+[—dx=7T1/2__12、JJx<01/2儿丿<3ox1/2丿解：先求出图形的顶点(0,0),(1/2,2),(2」/2),(2,0)=碍冷+2)十/65.求由曲线y=3-

3、x2-l

4、与X轴所围封闭图形绕岂线y=3旋转所成旋转

5、体的体积解：该曲线是由三段抛物线组成的，y=4-x2,丁=2+兀2,)=4-区间分别是[-2,-1],[-1,1],1,2],边界点(・2,0),(・1,3),(1,3),(2,0),旋转体可看成半径为3高为4的体积为3x3x4〃的圆柱体挖去抛物线绕直线y=3旋转成的部分，再考虑到曲线关于y轴的对称性，所以/-I0V=367i-27Tj(x2-l)2d.r+j(l-x2)2dx-2-16•设平而图形Atbx2+y2<2x与yn兀所确定，求图形A绕直线x=2旋转一周所得的旋转体体枳解：该题即教材习题6.3第6题，图形的顶点是©

6、0),(1」)，体积等于圆弧x=xl(y)绕x=2旋转的体积减1去直线段x=y绕x=2旋转所得的圆台的体积，故V=;rJ((l+Jl_b)2_(2_y)2)dy01-7Carcsin=兀(兀12-2/3)=可(27^-2()'—I)*®0i方法2V=^J((2-x1(j))2-(2-y)2)dy0111=龙J4(y-若(y)+彳(y)-y?)dy=打2(2y-y'-兀］(y))dy,由于J兀］(刃dy等于边长为一的正方型000面积减去四分Z—圆而积.故得IV=;rj2(2y—y2p(y))dy=2;r(l—l/3—(l—龙/4

7、))=龙(龙/2—2/3)07•求曲线),=ln(l-x2)上相应于05x51/2上的一段弧的弧长解：弧长f-i+1+qdr二：+ln土］11—x1+x丿<1一兀丿l-x21/2=ln3-l/201/2訂0x=acos^t&求曲线｛相应于(0

8、vcos4+sin4tdt=——厂jy］+cos2(2r)dcos(2r)0°2()龙/2=JJ1+cos?⑵)dcos⑵)(il+-^ln(V2+l)2Z(In(cos(2f)+Jl+cos?⑵))+cos(2f)J1+cos?⑵))

9、=a9.求极坐标下抛物线厂=——,上相应于(-龙/250W龙/2)上的一段弧长1+COS(P解：S__J__+心4(1+COS0)2(1+COS0)4(I+COS0严訂d(p龙/2」e=fd(ps3(^/2)Jcos?(0/2)=2sec(0/2)tan@/2)-2Jtan2((p/2)se

10、c(©/2)d(©/2)=2sec(0/2)tan(°/2)-2j(sec2((p/2)-1)sec(°/2)d((p/2)s="呷⑺+in(tan((^+龙)/4)=72+ln(l+>/2)Icos2(^/2)屮丿I。10.一条原长100cm的弹簧，每压缩1cm需力5N,求该弹簧从80cm的长度压缩到60cm的长度时夕卜力所做的功20解：A=j5(20+x)dx=(100x+5x2/2)「=3000(N-cm)=30(J)11.一个半径i-3(m),比重p=2xl03(^/m3)的实心球完全浸没在水中,球顶部到水面的距离为

11、16m,求把球提高到球底部与水而相齐需做的功.解：设水的比重为几球的重量是F二驾&kg,球浸没时浮力是化=几,不计浮力球提高22米做功为22F，把球捉高16米使得球顶离齐水面时浮力作功16Fw,水面距离为兀(加)时根据计算球缺的体积，水的浮力为Fw=兀⑷"一旷(3厂一力)几故