数学竞赛辅导讲义设计

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1、礼县二中高中数学联赛社团培训讲义一、集合(基础〉1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如(1)设卩2为两个非空实数集合，定义集合P+Q二+若戶=寧，Q={1,2,6},则P+Q中元素的有个。(答：8)(2)设=wR},A=［(x,y)2x-y-^-m>0},B={(x,y)IX+3/-77<0},那么点P(2,3)eAH(ChB)的充要条件是(答：m>-l,n<5)；(3)(3)非空集合Sy{1,2,3,4,5},且满足“若gwS,则6—gwS”，这样的S共有个(答：7)2.遇到AB=0吋，你是否注意到“极端”情况：A=0或B

2、=0；同样当A"时，你是否忘记A二0的情形？要注意到0是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集，如集合A={xax-=0}t8={兀

3、/_3兀+2=0},且AB=B,则实数g=.(答：d=0,l丄)23.对于含有斤个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2",2”一1,T-1,2”-2・如满足{1,2库Mg{1,2,3,4,5}集合M有个。(答:7)4.集合的运算性质：如设全集17={123,4,5}，若AAB={2},(G/)"B={4},(00(^3)={1,5},则人=,B=—・(答：A={2,3},B={2,4})5.研究集合问题，一

4、定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。如：{xy=gx}一函数的定义域；{yy=lgx}一函数的值域；{(x,j)ly=lgx}-函数图象上的点集，如0〉设集合M=［xy=y/^2},集合N=则MN=—(答：［4,+Q)；(2)设集合M={aa=(1,2)+A(3,4),2eR},N={a

5、a=(2,3)+2(4,5),2wR},则M*N=(答：{(-2,-2)})6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如己知函数/(%)=4x2-2(p-2)x-2p2

6、一/?+1在区间［-1,1］上至少存在一个实数c，使/(c)>0,求实数p的取值范围。(答：(一3,

7、))7.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为cix>b的形式，若a>0,则兀〉。；若a0时，aaXG0O如已知关于x的不等式(d+b)x+(2d—3历<0的解集为(4,一丄)，则关于x的不等式(d—3历兀+@—2q)>0的解集为(答：{xx<-3})8.一元二次不等式的解集（联系图彖）。尤其当4=0和4<0时的解集你会正确表示吗？设6?>0,xpx2是方程ax2+bx+c=0的两实根，且<

8、x2,则其解集如下表：cue+Zzr+c>0ax2+bx+c>0ax1+bx+cvOax1+bx+c<0A>0{xxx2}{xxx2}[xx{;当QVO时,兀>1或XV丄；当0VQV1时,a11时，丄V兀V1)aa12.对于方程—2+加+c=O有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次若。工0,则一定有厶=胪-4（山。对于

9、多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如:（1）（«-2）x2+2（6?-2）x-1v（）对一切尢w/?恒成立，则a的取值范围是（答:（1,2］）；（2）关于兀的方程/（x）=k有解的条件是什么？（答：kwD,其屮D为/（x）的值域），特别地，若在［0,彳］内有两个不等的实根满足等式cos2x+x/3sin2x=Z:+l,乙则实数R的范围是.（答:［0,1））二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程cvc+bx+c=0的两个根即为二次不等式av2+Z?x+c>0（<0）的解集的端点值，也是二次函数y=cuc^bx^c的图象

10、与兀轴的交点的横坐标。如（1）不等式坂>血+

11、的解集是（4"）,则g（答：丄）；（2）若关于兀的不等式久*+bx+cv0的解集为（-oo,m）U（n,+oo）,其中8m

12、?-p^