数学建模两个综合模型案例分析（PPT）

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1、零件的参数设计一、实际问题这是1997年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是确定其标定值和容差。7/17/20211这时要考虑两方面因素：一是当零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，

2、容差设计得越小，成本越高,试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1，x2，…，x7）决定，经验公式为7/17/20212y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当y偏离y0±0.3时产品为废品，损失为9000（元）。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%,B等为±5%，C等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本（元）如表1（符号/表示无此等级零件）。7/17/20213表17/17

3、/20214现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。7/17/20215二、模型的假设及符号说明（1）模型的假设①假设各零件的参数为随机变量，且是相互独立的，它们都服从以零件标定值为均值，容差的三分之一为均方差的正态分布。(②假设生产1000个批量产品时，每个零件参数只按一种容差等级进行生产，7个零件可以按不同的容差

4、等级进行组合生产。7/17/20216③考虑到题目所给条件，产品参数y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1000元，y偏离y0±0.3时，产品为废品，损失为9000元，可假设产品参数y偏离目标值y0造成的单件产品质量损失函数L（y）与（y-y0）2成正比即（1）易见7/17/20217（2）符号说明第i个零件的参数，它是随机变量；第i个零件的标定值，即xi的期望值；第i个零件的均方差；第i个零件的容差，即第i个零件的相对容差，即；7/17/20218y0：产品质量参数的目标值；y：产品质量参数，它是随机变量；σy：y的均方差；ai：标定值xi0的取值下限（已知的

5、）bi：标定值xi0的取值上限（已知的）x0=（x10，x20，…，x70）标定值向量t=（t1，t2，…，t7）：相对容差向量7/17/20219三、问题的分析及数学模型（1）问题的分析问题的目标函数是总费用函数最小，而总费用是由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用和产品的成本费用两部分组成。一般来说，标定值设计不合理或容差设计得太大，会使产品参数远离目标值，造成质量损失；而容差设计得太小，又会增加零7/17/202110零件制造成本，综合考虑产品质量损失费和成本费是问题的关键。由题目所给条件知，单件产品的零件成本取决于相对容差等级，第种零件的成本记作，于是单件产品的成本，即7个

6、零件的总成本为（2）产品参数y由决定，7/17/202111记作y=f(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7），而xi是随机变量，且xi~N（xi0，σi2），所以产品参数y也是随机变量。进行成批生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用损失函数L（y）的期望来度量，它取决于零件参数标定值x0和容差t，记为：7/17/202112由(2)式为了得到的简单表达式，在处对作Taylor展开，并略去二阶及二阶以上项，有7/17/202113其中于是所以7/17/202114通过以上分析讨论可知，成批生产时平均每件产品的总费用可表示为（2）数学模型问题的目

7、标函数是总费用函数Z（x0，t）达到最小，且约束条件是标7/17/202115定值x0落在给定的容许范围内，所以该问题的数学模型为：（3）7/17/202116四、模型的分析及求解1.模型的分析注意到在模型（3）中，决策变量x0是连续的，t是离散型的，而且t的取值共有2×3×3×3×2=108种，对每种固定的t值，求解如下一系列子问题：（4）7/17/202117得到最优解和最优值，然后对108个t比较（5)得到全局最优解和最优值。子问题（4）是非线