07级华清高数I(下)期末试题及答案7.1

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1、华清学院高等数学I（下）试题考试时间：2008.7.158:30—11:00一•选择与填空（每题3分，共30分）.1、微分方程八+3（八广+y+h=/（x）的阶数为（B）A、2B、3C、4D、52、设函数/（兀,刃在点（兀。,儿）处可微，则下列说法不正确的是（C）A、f（x,y）在点（心,儿）处偏导数存在B、f（x,y）在点（花，儿）处有定义C、f（x,y）在点（也,儿）处偏导数连续D、f（x9y）在点（x0,j0）处有极限3、lim知=2是级数£（知-2）收敛的（/

2、=1C）条件.>«>A、充分不必要B、充分必要4、若Q:x2+j24-z2

3、?2,则jjj(x+2)dv=(D)C、必要不充分D、无关A.0C.7TR5•微分方程jf_5y+6尸（兀+2）0的特解的形式可为（B）A・=(ax+6)e2xB・y'—x2(ax+6)e2rC・=x(ax+&)e2ADj*=axe2x6、函数z=ln(x+y+1)的定义域为_{(兀』)

4、兀+丿>-1}7、函数z=x2+j2的全微分为dz=2(xdx+jdy)8、交换积分顺序匸d寸:/(x,j)dj=J^djJ；f(x,y)dx2229、设曲—+—+—=1，则Jf(x+v)dS=0234e10、若几*2是方程y，，+PMy，+Q(x)y=0的两个

5、线性无关的特解，则该方程的通解为尸Cj+C2y2_二.计算题(每题6分，共18分).11、已知函数f（u9v）可微，Z=/（2x+J,x—2j）,求学，车.axdy解:罟=2*7dx-可;12•已知函数z=f(x9y)由方程x+2j+3ez+xyz=5确定,求奚李.dxdy解：设F(x,j,z)=x+2j+3ez+xjz-5,则dz_Fx_14-yz—3xFz3ez+xydz_Fy_24-xzdyF.3ez4-xy13、求微分方程/-2/-3^=0的通解.解:原方程的特征方程为：r2-2r-3=0,特征根为q=3,r2=-1,^C通解为:y=C1

6、e3x+C2e-x三.求解下列各题(每题6分，共18分).14、判别级数£竺凹的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?幺2n+l解：条件收敛15、求幕级数£手的收敛域.n=l2W：(-2,2)工216、将函数y二丄展开成工的幕级数.1-X解:X2=X21-x11-x8w=0=工兀"2(或=工工")(x<1)/i=On=2四•计算下列积分(每题6分，共24分).17、计算JJw+y+l)d(r,其中，D是直线y=x9y=-x,y=l围成的区域D解：+j+l)d

7、)dy=2(

8、j3+

9、j2)32()_5_318、计算对弧长的曲线积分Jz(J*+M+2)d£,其中I为单位圆的上半部分.解：2)ds=J(l+2)ds=3jlds=3;r19.计算J(2y+sinx)dx+(cosy+x)dy,其中L为xOy面上面积为LS(OvSvoo)的有界区域的边界曲线，取顺时针方向.解：由格林公式：J(2y+sinx)dx+(cosy+x)djL=-jj(l-2)daD=s20・求对坐标的曲面积分j

10、(x+j)djdz+(j4-z)dxdj+(z4-x)dxdj,其中曲面》为球面X2+J2+Z2=4(z>0)取上侧・解：

11、设纭为双"面上x2+j2<4的曲(平)面，方向向下，D为双"面上区域x2+j2<4,Q为E与纭围成的空间区域，则j

12、(x4-zsinj)djdz+(j+xsinz)dxdz+zdxdj训-wS+X

13、£

14、=jjj(1+14-1)dv-(-l)JjOdxdj曲高斯公式)QD=3JJJdv=3-—23=16^c3五.综合题(每题5分，共10分)21.要造一个容积等于定数Q的长方体无盖水池，应如何选择水池的长、宽、高的尺寸，可使它的表面积最小.解1:设水池的长宽分别为工』，则高为土,于是无盖水池的表面积为:S(x,j)=xj+—+—,s’=—*,SV=丿

15、-理•令偏导数为0,解得驻点为(痂，痂)xy唯-极值点，即最值点，此时水池高为誌厂乎解2.设水池的长宽分别为兀』,Z，则xyz=a,无盖水池的表面积为S(x,y)=xy^-2xz^2yz，列目标函数如下F(x,j,z)=xj+2xz+2yz+A(xyz-a)，于是Fr=j+2z+Ayz令0Fv=x+2z+Axz令0

16、+j)dJ与路径无关.解：P(x,j)=j/(x)+x,0(x,j)=/(x)+j,^=/z(x),^=/(x),axdv由曲线积分与路