信息论（宿菲）jensen不等式讲解

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1、对数函数下的N次幕凸函数与Jensen型不等式常州市武进区横山桥高级中学陈志强摘要：结合中学数学中的对数函数来给出N次幕凸函数的定义和判断N次幕凸函数的几个定理，建立关于N次幕凸函数的Jensen型不等式.对数函数;凸函数；N次幕凸函数；Jensen型不等式.凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的.本文对照凸函数和平方凸函数的概念提出N次幕凸函数的概念，给出了关于N次幕凸函数的六个性质，并且建立了关于N次幕凸函数的Jensen型不等式，进一步拓展了凸函数的研究领域，扩大了凸函数的应

2、用价值，使凸函数在不等式研究中发挥更加广泛的作用.（-）中学数学中的函数模型中学数学中有一个典型的函数模型一一对数函数，从对数函数的图像来讲，当当。>1时，其在定义域上的图像呈现向上凸的形状；Ovdvl时，其在定义域上的图像呈现向下凸的形状，符合这种图像特征的函数我们称之为凸函数a>l0

3、：若函数/（x）=log“兀，（a>0且对于任意的石，兀2G（0,+oo）,当0"吋函数E满足/（号^如严2,我们称函数畑在（。心上为下凸函数；当d>l时，函数/（劝满足/•（土电）/（和+心）,我们称函数22/（X）在（0,+oo）上为上凸函数.拓展定义lu,设/（X）在区间/上有定义，如果对任意XpX2G/,tG（0,1）/（兀+（1-t）x2）<（兀J+（1-t）f（x2）则称/（劝在区间/上是下凸函数；如果上式不等号反向，则称/（兀）在区间/上是上凸函数.（―）预备知识在引入新概念之前，我们再给出一个常用概念一一平方凸函数.我

4、们知道，通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一规律，我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合N次幕平均值，进一步建立了N次幕凸函数的概念.定义2121设/（兀）是定义在区间/e/?+±的正值函数，如果对任意X）,x2G/,te（0,1）有/（/斤+（1-。卅）

5、0,1）有/（佃+（1-/）毘）<寸广（和+（1-/）广©2）则称/（X）在区间/上是N次幕下凸两数；如果上式不等号反向，则称/⑴在区间/上是N次幕上凸函数.（三）N次幕凸函数性质我们己经给出了N次幕凸函数的概念，这里我们针对凸函数的特点，给出一个引理，来进一步研究N次幕凸函数y=.f（x）,其反函数、复合函数、倒数函数、和函数的凸性，以及凸函数与N次幕凸函数的关系，并且给出了利用导数来判断N次幕凸函数的一种方法.引理若g（Q是区间［c,d］（［c,^］e7?+）上的正值下凸（上凸）函数，则/（X）=町g（x"）为［佗丽］上的N次幕下

6、凸（上凸）函数.证明任取坷,兀2"说，丽1，虫（0,1）因为g（x）是区间［c,d］上的下凸函数，所以/妙斗+（17）对）=甌（饥,+（1-/）坊）<也g（J<）+（l—f）g（X）又/g（斗）+（1-/）g（对）=3）+（1—/）厂（兀2）于是/（也斗+（1_理）<切（西）+（1-根据定义3,/（x）=^g（xn）为［说，丽］上的N次幕下凸函数.定理1设区间I,M匚疋，广/tM・（1）若y=/（力为/上严格增加的N次幕下（上）凸函数，则反函数y=f~l（x）为M上严格增加的N次幕上（下）凸函数.（2）若y=/（%）为/上严格减少的N

7、次幕下（上）凸函数，则反函数y=f~x）为M上严格减少的N次幕下（上）凸函数.证明这里仅证定理1（1）的前一种情况，其他同理可证.因为）/（x）在/上为严格递增函数，所以反函数y=在M上为严格增函数.任取y{,y2€M,则存在xi9x2gI使X,x2=f~y2）,必=/（西），y2=f（x2）因为y=/（x）为/上是N次幕下凸函数，所以对任意虫（0,1）,有厂（坷）+（1—/）广'“2）即/（也斗+（1-0对）5讹*+（1—心；（*）且f（Qr斗+（l_r）x；）wM,治+（l-/）y；*M又y=/（x）的反函数y=f~1（x）在

8、M上是严格增函数，于是（*）式化为厂'（/（«闪+（1—0舄））也（厂M+（i（厂（匕））"根据定义3以及y=f-x）在M上是严格增函数，可知函数y=f-x）在区间M