【数学毕业论文】jensen不等式的推广

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1、本科毕业论文（设计）题目：Jensen不等式的推广院（系）专业：数学系（数学与应用数学）学生姓名：冯德文学号：导师（职称）：杨慧章(助教)日期：2012年6月红河学院本科毕业论文(设计)摘要凸函数是一种性质特殊的函数，而凸函数的Jensen不等式是一个很重要的不等式，由它可推出一系列不等式，而凸函数的构造也有其妙处。为使其更广泛应用于不等式的证明，本文利用凸函数的性质对Jensen不等式进行了推广，得到几个重要的积分不等式并进行了证明。关键词：凸函数；积分II红河学院本科毕业论文(设计)AbstractTheconv

2、exfunctionisonefunctionwithspecialproperties,buttheJenseninequalityofconvexfunctionisaveryimportantinequality.Accordingtothefunction,wecanevolveaseriesofinequalities,anduseitmoreeasilytoprovesomeimportantinequalities,buttheconvexfunctionstructuresalsohavetheira

3、dvantages,Inordertomakegooduseofprovinginequalitieswidely,inthispaper,weusethepropertiesofconvexfunctiontoexpandtheJenseninequality,obtainseveralimportantintegralinequalitiesandgivetheproofofthem.Keyword：ConvexFunction；IntegralII红河学院本科毕业论文(设计)目录绪论11预备知识21.1凸函数2

4、1.2Jensen不等式22Jensen不等式的推广42.1积分型Jensen不等式42.2其它积分不等式52.3应用8结论10感谢信11参考文献12绪论绪论不等式是研究分析数学的重要工具，在高等数学中我们要用到各种形式的不等式。本文主要利用凸函数的定义及性质去证明不等式。其关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。本文内容安排如下：第一章预备知识。先介绍凸函数的定义及充要条件，再给出凸函数的Jensen不等式及其证明。第二章Jensen不等式的推广。先利用凸函数的定

5、义及性质把前一章给出的Jensen不等式推广到积分形式，并给出证明。再由前章给出的知识以及积分型的Jensen不等式推出几个重要积分不等式并进行证明。最后给出两个例子介绍它们的应用。11预备知识1预备知识1.1凸函数定义设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数。反之，如果总有则称为上的凹函数。定理1设为上的可导函数，则为上的凸函数的充要条件是，或对上的任意两点，有1.2Jensen不等式定理2(Jensen不等式)为区间上的凸函数，则对任意，且，有(1-1)21预备知识再把上式两端分别相

6、加，得由及，上式变为==即注：当时，有，则(1-1)式变为(1-2)3结论2Jensen不等式的推广2.1积分型Jensen不等式命题1若在区间上连续，处处2阶可导且，则有(2-1)证法：把区间等分，，把代入(1-2)式，有即因为，在上连续，当时，有所以2.2其它积分不等式命题2若在连续，，则(2-3)9结论证明：设，，则，所以为凸函数。由命题1可得即所以注：命题2为命题1的一般形式，相当于命题一中的。因为为凹函数，所以符号相反。命题3若在区间连续且，则(2-4)证法一：设，，则。因为，所以，即为凸函数。根据命题1有

7、即结论得证。注：命题3由命题1所得，相当于。证法二：把等分，分点为。因为算术平均值大于调和平均值，所以有9结论=由有令，取极限得结论得证。命题5设在连续，且则有证：因为函数为凸函数，由Jensen不等式有=。=9结论综上可得注：上式为均值不等式。2.3应用例1证明。证：令．因为且的连续性，所以由Jensen不等式有===。9结论结论凸函数是一个传统研究课程，具有广泛的实际背景和应用价值。对凸函数性质的探讨是一个重要的研究方向。本文凸函数Jensen不等式的应用仅仅是限于一元函数而言，可将其推广到多元函数，将空间扩充到

8、凸集的范围，这些类似定理和结论以及相关应用有待一步研究。9红河学院本科毕业论文(设计)感谢信在毕业论文完成之际,向给予我帮助和指导的各位老师和同学表示衷心的感谢!首先,我要感谢我的论文导师杨慧章老师,因为有她耐心的指导、鼓励和帮助我才顺利完成我的毕业论文。借此机会我向数学系老师表示衷心的感谢,感谢他们四年来的精心指导和培养。10红河学院本科毕业