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1、谈谈递推数列的应用四川省高中数学省级骨干四班学员四川省纳溪中学校王远强［引语］递推数列是一类广泛而复杂的问题，其特点是：逻辑推理性强，求解方法开放、灵活•数列应用问题的特征是：内容广泛，对信息收集、语言转换和数据处理能力要求高。近儿年的高考数学试题中呈恒高漫态势，是高考的热点.是应用意识与能力培养的素质教育的一个好素材.递推数列的应用问题求解，主要是运用转化思想化归为两类基木数列（等差数列、等比数列）的问题.它把数学运用于实践,在实践屮发展能力，因此在教学中有意识地从这两个方面去培养学牛的能力是有裨益的.本文以数列递推的应用为重点探讨数列应用问题求解思路
2、，以期提高学生的适应高考的能力，提升学生解题的思维品质。1・解决问题两个要点：1.探索化归：准确探索问题所涉及的数列的类型或准确定义问题屮的数列.2.列式建模：求出数列的通项公式或建立递推关系：①如果问题所涉及的数列是特殊数列（如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等），应首先建立数列的通项公式；②如呆问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一•般应考虑先建立数列的递推关系式.II•例析递推数列应用一.最优方案问题例1某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：-•次性贷款10万元，笫一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润：乙方案：每年贷
3、款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还木息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比鮫两种方案中，哪种获利更多？（取1.05^=1.629,13°=13.786,1.5"=57.665）［解析］川方案是等比数列，乙方案是等差数列,①T方案获利:1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)°=u42.63(万元)•3银行贷款本息:10（1+5%）】°u16.29（万元）故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34(万元)10x9②乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+2x
4、0.5)+…+(1+9x0.5)=10x1+-^x0.52=32.50(万元)；银行本息和:1.05x[1+(1+5%)+(1+5%尸+…+(1+5%)9]1（）5_1八吩击小215元）故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29（万元）；综上可知，卬方案更好.［评析］:例1是比较简单的数列应用问题，山于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.一.排列问题例2.把1元与2元的硬币共n元放成一排，总共有多少种不同放法？解：设放法总数为益，则坷二1,兀2二2・把乞种放法分为两类：①头一枚是1元的放法数应是兀-；②头一枚是2元的
5、放法应是兀_2•于是xzl=+xn_2（n=3,4,5,•••）,下面用待定系数法求通项兀“•引入参数m设：兀+m£_i=（m+l）乙_1+兀一2即£+m£_]=(m+l)(皿尙兀』令沪尙则呼-1±V5""2呼（£-厂呼£-2）i+Vs兀”—2—兀"一1呼（S-呼畑）(II)由⑴式知数列｛£一匕5兀心｝是首项为兀2—BY坷二出5，公比为如二土2222由（II）式知数列｛兀”一上#5兀的等比数列，所以有兀一土5兀心2_3-V5(]_亦丫_2_(1-亦yt一-2T~T~的等比数列,所以有£-呼甘呼（呼严=（呼）”1+-x/53-751-a/5”_i｝是首项为
6、花—K二，公比为的二由③④消去兀“即得x石*［（拧5）”一（〒!）“］［评析］:这是著名的斐波那契数列.本题采用待定系数法化归为等比数列求通项.一.浓度问题例3.容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为心、W，（1）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%?（取lg2=0.3010,lg3=0.4771）（2）求给、g的表达式,并求lima”与lim的值.H—>00H—>
7、CO解:(1)•・•勺=丄(丄+4x丄)=2°=丄(A+5x-)=—5520251625550也三坐，色屮二
8、（5①+仇+J=型泸□o3U2?•5+i-几肓（鑫-仇）,-乞｝是厂§的等比数列,/.an-bn=—x(-),?-*<—,.-l>log7—=——-——«5.7,””103100&
9、10Ig3-lg2/.m>7,故至少操作7次；I]2(2)•・•b申=-[blt+^x(§严+4乞],.•.爲-乞=仇=肉+@2_$)+@3—乞)+…+(仇一bn_})7+50?23r2,27/2〃一]=3(2、n=—+——x[—+(—)-+•••+(—)"]]=
10、x(-),?2510033310032327而=bn+—x(—)"」=—x(—
