002-大学普物讲座之二——矢量基础

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1、大学普物讲座之二一一矢量基础作者：Michaelexe物理量分为矢量和标量。标量只有大小，矢量既有大小又有方向。矢量的加法满足平行四边形法则矢量可以在同一平面内任意移动。但是要注意，只有在分析时可以，在现实世界中不行。比如力，如果力的作用点改变了，力的作用效果肯定会改变。我们把矢量平行移动就得到了三角形法则（因为画图软件不支持上标，所以以后图形中的矢量上面不标矢量符号）c=a+b矢量在某个方向的投影比如&在*方向的投影珏如图所示其中虚线垂直于d坐标系平面直角坐标系选择两个互相垂直的坐标轴，交点记为0,横轴为X轴，纵轴为y轴。这样，任一矢量就可以通过平移把起点移到O点，然后分

2、别投影到x轴和y轴上分别取x轴和y轴的基矢（也就是单位矢量，模为1的矢量）为亍和几那么孑之j+勺了，这样，比和勺就都是标量了。平面极坐标系其中印和£为基矢空间直角坐标系过空间一个定点0,做三条互相垂直的数轴，它们都以0为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做X轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线。它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手四个手指从正向x轴以肌/2角度转向正向y轴吋，大拇指的指向就是z轴的正向。如图所示在空间坐标系中有任点R(x,y,z),那么起点为原点，终点为R点的矢量为心疔+方+慕。其

3、中，万圧分别为*轴，y轴，z轴的基矢。矢量与标量的乘积矢量习与标量m的乘积是矢量強力，这个矢量的模是矢量力的模的m倍，方位与&相同；指向由m的正负号而定，m为正时，加与习指向相同，否则相反。若m=0,则说为零矢量。若&和F是矢量，m和n是标量，则m3=amm(na)-(mi)a(m+n)a-ma+nam(a+b)=rm+mb矢量的点积空间某一X轴的方向由轴的单位矢量确定，以3表示X轴的单位矢量,以玉表示矢量&在X轴方向的投影的模(1.矢量的模就是指矢量的长度，也即矢量的大小；2•投影的模在不引起混淆的情况下可简称为投影)，丑称为矢量&与单位矢量3的点积。如图所示，其表达式为

4、ax=a-e=acos9,0<9<7T式中，&是矢量习的模，cos9是矢量&和耳的正方向夹角的余弦。同样可确定矢量&与矢量芳的点积。考虑矢量&在矢量/方向的投影叽可得a^=ab=a—=acos(a,6)b由此得到a-b=abcos(a,b)=a曲=baa三维空间里，正交坐标轴单位矢量圧的点积r-f=}■}=k■k}-k=kj=k-T=rk=r-j=j-r=o将矢量表示为沿坐标轴的分矢量的矢量和，耳之『+色7+。据,&・£=（a/+a2j+他若）・（$产+&2丁+癒）=a肉+勺&2+幺03b=b^+玄了+鸟疋则有若乳do,且a,F都不是零矢量，贝产互相垂直。容易证明，点积满足

5、交换律和分配律，即a-b=b-aa-(S-}-c)=a-S+a-c还有m(a・b)=(ma)・b=a^(mb)=(ab)m矢量的叉积两矢量&和F的叉积是一矢量J3的模是a,芳的模与两矢量夹角的正弦sine的乘积，3垂直于孑，产平面，且心产和3构成右手系（如图1）图1表示为c=axbc=absmO由图1很容易看出，交换律对矢量的叉积是不成立的，且axb=-bxa若引或",因为Sin9=0,所以axb=0o由定义容易证明，直角坐标系基矢的叉积有如下关系:fxf=0}jxj=Ofkxk=0ffff广ixj=_jxi=kj^k=-kx}=rkxT=-fxk=j利用这些关系可以求得a

6、xb=(a$+a2j+a3k)(b^+為了+%上)(勺鸟-a3b2)i4-(a^-a^)j+(^i2-a^kG[Jfaxb=ffJk“2鸟(关于行列式的定义可以参考高等数学附录)可以证明，分配律对矢量的叉积是成立的，即(?xg+C=axb+axc设m为标量，有m(axb)=(ma)xb=ax(mb)=@xb)m