1集合的概念和表示方法

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1、1集合的概念和表示方法教材背景与分析1、集合是什么，通俗地说它是一些元素组成的集体，是一些确定而又可分的“物”的集体。集合并不指具体的“物,,，而是由物的集体所组成的新对象。20世纪以来的研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠泄在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入"集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。集合论最重要的创建者是康托尔(GeorgCantor,1845—1918)。在19世纪人们

2、很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。但是微积分本质上是一种“无限数学S那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至述是人类思维发展史上的一座里程碑。它标志着人类经过儿千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限冒险迈进。”徳国数学大师

3、伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一„。然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，人家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1903年英国哲学家兼数学家罗素(Russell,B.A.W,1872—1970)提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？"答案如果说是，即包含自身，屈于

4、这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素木人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有白己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的口称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学

5、界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。”数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统來对集合论作出必

6、要的规定，以排除啰素悖论”和其他有关的“悖论寫现在,各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包含一个“限制大小''的公理。2、在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子.本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集

7、合的两种常用表示方法列举法与描述法正确表示一些简单的集合.教学目标1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法.2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质.3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力.任务分析这节内容学生己在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概念采用rti具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受.在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念

8、.集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握.教学设计一、问题情境1.在初屮，我们学过哪些集合？2.在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数