中考数学专题指导8：动态几何类问题

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1、中考数学专题指导第八讲动态几何类问题（一）考点解析：所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线、面的运动（包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换）为重耍的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合.解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形，想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个

2、初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画岀运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决.（二）考点训练考点1:单动点问题【典型例题L（2017山东泰安）如图，ZBAC=30°,M为AC上一点，AM二2,点P是AB上的一动点，PQ丄AC,垂足为点Q,贝IJPM+PQ的最小值为衍・【考点】PA：轴对称-最短路线问题.【分析】本题作点M关于AB的对称点N,根据轴对称性找出点P的位置，如图,根据三角函数求出MN,ZN,再根据三角函数求出结论.【

3、解答】解：作点M关于AB的对称点N,过N作NQ丄AC于Q交AB于P,则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D,则MD丄AB,DM二DN,VZNPB=ZAPQ,・・・ZN二ZBAC二30°,VZBAC=30°,AM=2,・・・MD=*AM=1,AMN=2,故答案为：V3.变式训练:ANQ=MN*cosZN=2X^=^3（2017山东烟台）如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB二4,矩形0BDC的边CD二1,延长DC交抛物线于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）如图

4、2,点P是直线E0上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线E0于点G,作PII丄E0,垂足为II.设PII的长为1,点P的横坐标为in,求1与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出1的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点*使得以A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.图1【考点】HF：二次函数综合题.【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)可先求得E点坐标，从而可求

5、得直线0E解析式，可知ZPGH二45°,用m可表示岀PG的长，从而可表示出1的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；(3)分AC为边和AC为对角线，当AC为边吋，过M作对称轴的垂线，垂足为F,则可证得厶MF7仝AAOC,可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K,可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标.【解答】解：(1)•・•矩形OBDC的边CD二1,・・・0B二1,VAB=4,・・・0A二3,/.A(-3,0),B(1

6、,0),把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得＜・••抛物线解析式为y=-yx2-寺+2；2494(2)在y二-yx2-yx+2中，令y=2可得2=-yx2-yx+2,解得x=0或x二-2,・・・E(・2,2),•I直线0E解析式为y=-x,由题意可得P(m,-m~-争+2),・・・PG〃y轴，TP在直线0E的上方,•IPG=・-

7、-ni2--

8、m+2-(-m)=-ym2-ym+2=・壬?+曇’・・•直线0E解析式为y=-x,AZPGH=ZC0E=45°,・・・当沪诗时，1有最大值,最大值为警;（3）①当AC为平

9、行四边形的边时,则有MN〃AC,且MN=AC,如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F,设AC交对称轴于点L,则ZALF=ZACO=ZFNM,在△MFN和AAOC中rZMFN=ZAOCZFNI=ZACO[MN二ACAAMFN^AAOC(AAS),・・・MF二AO二3,・••点M到对称轴的距离为3,94又y=-—x-亍x+2,・•・抛物线对称轴为x二-1,设M点坐标为（x,y）,则

10、x+l

11、=3,解得x=2或x=-4,当x二2吋，y二-乎，当x=-4吋，y二乎・・.M点坐标为（2,-罟）或（-4,10T②当AC为对角线

12、时，设AC的中点为K,VA(-3,0),C(0,2),3・・・K(■牙，1),•・•点N在对称轴上，・••点N的横坐标为-1,设M点横坐标为x,.•.x+（-1）二2X（-—）=-3,解得x=-2,此时y=2,AM（-2,2）；综上可知点M的坐标为（2,-乎）或（-4,-乎）或（-2,2）.方法归纳总结：从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明.考点2：双