（江苏专用）2020版高考数学复习第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的实际应用教案

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1、§4.7　解三角形的实际应用考情考向分析　以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为填空题或解答题，中档难度．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与

2、水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示　实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　√　)(4)方位角大小的范围

3、是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)题组二　教材改编2.[P18例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.答案　50解析　由正弦定理得＝，又B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．3．[P21T3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．答案　a解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠P

4、AB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴在△PAB中，＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝a×sin60°＋asin15°＝a.题组三　易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为_____m.答案　40解析　设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD,3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即

5、x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.5．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案　130°解析　60°＋70°＝130°.6．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．答案　5解析　由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，即＝，得BC＝5.题型一　测量距离问题1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°

6、和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案　10解析　如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝＝＝10(m)．2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.答案　解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝km.在△BCD中，∠DBC

7、＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝＋－2×××＝.∴AB＝km.∴A，B两点间的距离为km.3．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.答案　900解析　由已