2019届高考数学复习三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用学案

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1、§4.7　解三角形的综合应用最新考纲考情考向分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定

2、理AB＝河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝；在△BDC中，BC＝；在△ABC中，应用余弦定理求AB知识拓展实际问题中的常用术语1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4

3、．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　√　)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)题组二　教材改编2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定

4、一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.答案　50解析　由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．答案　a解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a

5、，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝a×sin60°＋asin15°＝a.题组三　易错自纠4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于(　　)A．10°B．50°C．120°D．130°答案　D5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案　a解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.6．

6、在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________km/h.答案　60°　20解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一　求距离、高度问题1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船

7、，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案　10解析　如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.答案　解析　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC

8、＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.故山高CD为.3．(2018·日照模拟)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时