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《专题51:解集为整数点的不等式(组)问题的研究与拓展》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题5.1:解集为整数/点的不等式(组)问题的研究与拓展x-y>0,【课本溯源】不等式组x+yS5,表示的平面区域内的整点个数为.12y>0【问题提出】问题1:如何研究上述整点问题?y一x93个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为—问题2:AABC三边a,b,c的长都是整数,Ra2、公差为3的等差数列,这样的三角形有个.5【拓展探究】探究1:若集合P={x2x-a<0}fQ={x3x-b>0},a,bwN,且PQ/V={1},则满足条件的整数对的个数为・变式:已知集合A={x3、2x+5>3x-15},B={x4、x+3<2x+26f},且ACB只有5个整数解,则a的取值范围是.-65、2x+5>3x-15},B={x6、x+3<2x+2€/},且4RB只有5个整数解,则。的取值范围是.-67、W—U2探究4:关于%的不等式组rva(1)若集合2={a8、29、x+l10、+«-l)(6Z<1)的定义域为A,集合B={AjcOS7ZX=l),(C“A)r)3恰好有两个元素,求实数G的取值范围.一2<。50探究6:已知是实数,函数/(兀)=处+加一111、(灼尺)(1)若a"w(-2,2)12、,且函数/(x)在(0,+oo)内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb内,求出动点(G0)运动区域的面积;4(数(2)若b>0,且关于x的不等式/(x)<0的解集中的整数恰有2个,试求?的取值范围.b形结合)变式1:已知函数/(兀)=2卜一213、+ax(xwR)有最小值,则实常数a的取值范围是—变式2:函数f(x)=x+cx—114、在(0,+对上有最大值,则实数a的取值范围是探究7:(2009,天津)关于兀的不等式(2x-1)2<^的解集中的整数恰有3个,则实数。的取值范围是25,49・——15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象,见图1.1;由题意,要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(16、)=0,由图象得到,原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3;则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时,y=/(x)单调递增,且y>4;当00;当无冷时,y=/(x)单调递增,且017、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到18、2兀-l19、v需卜20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=21、/?(x)22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=424、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
2、公差为3的等差数列,这样的三角形有个.5【拓展探究】探究1:若集合P={x2x-a<0}fQ={x3x-b>0},a,bwN,且PQ/V={1},则满足条件的整数对的个数为・变式:已知集合A={x
3、2x+5>3x-15},B={x
4、x+3<2x+26f},且ACB只有5个整数解,则a的取值范围是.-65、2x+5>3x-15},B={x6、x+3<2x+2€/},且4RB只有5个整数解,则。的取值范围是.-67、W—U2探究4:关于%的不等式组rva(1)若集合2={a8、29、x+l10、+«-l)(6Z<1)的定义域为A,集合B={AjcOS7ZX=l),(C“A)r)3恰好有两个元素,求实数G的取值范围.一2<。50探究6:已知是实数,函数/(兀)=处+加一111、(灼尺)(1)若a"w(-2,2)12、,且函数/(x)在(0,+oo)内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb内,求出动点(G0)运动区域的面积;4(数(2)若b>0,且关于x的不等式/(x)<0的解集中的整数恰有2个,试求?的取值范围.b形结合)变式1:已知函数/(兀)=2卜一213、+ax(xwR)有最小值,则实常数a的取值范围是—变式2:函数f(x)=x+cx—114、在(0,+对上有最大值,则实数a的取值范围是探究7:(2009,天津)关于兀的不等式(2x-1)2<^的解集中的整数恰有3个,则实数。的取值范围是25,49・——15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象,见图1.1;由题意,要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(16、)=0,由图象得到,原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3;则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时,y=/(x)单调递增,且y>4;当00;当无冷时,y=/(x)单调递增,且017、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到18、2兀-l19、v需卜20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=21、/?(x)22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=424、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
5、2x+5>3x-15},B={x
6、x+3<2x+2€/},且4RB只有5个整数解,则。的取值范围是.-67、W—U2探究4:关于%的不等式组rva(1)若集合2={a8、29、x+l10、+«-l)(6Z<1)的定义域为A,集合B={AjcOS7ZX=l),(C“A)r)3恰好有两个元素,求实数G的取值范围.一2<。50探究6:已知是实数,函数/(兀)=处+加一111、(灼尺)(1)若a"w(-2,2)12、,且函数/(x)在(0,+oo)内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb内,求出动点(G0)运动区域的面积;4(数(2)若b>0,且关于x的不等式/(x)<0的解集中的整数恰有2个,试求?的取值范围.b形结合)变式1:已知函数/(兀)=2卜一213、+ax(xwR)有最小值,则实常数a的取值范围是—变式2:函数f(x)=x+cx—114、在(0,+对上有最大值,则实数a的取值范围是探究7:(2009,天津)关于兀的不等式(2x-1)2<^的解集中的整数恰有3个,则实数。的取值范围是25,49・——15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象,见图1.1;由题意,要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(16、)=0,由图象得到,原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3;则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时,y=/(x)单调递增,且y>4;当00;当无冷时,y=/(x)单调递增,且017、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到18、2兀-l19、v需卜20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=21、/?(x)22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=424、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
7、W—U2探究4:关于%的不等式组rva(1)若集合2={a
8、29、x+l10、+«-l)(6Z<1)的定义域为A,集合B={AjcOS7ZX=l),(C“A)r)3恰好有两个元素,求实数G的取值范围.一2<。50探究6:已知是实数,函数/(兀)=处+加一111、(灼尺)(1)若a"w(-2,2)12、,且函数/(x)在(0,+oo)内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb内,求出动点(G0)运动区域的面积;4(数(2)若b>0,且关于x的不等式/(x)<0的解集中的整数恰有2个,试求?的取值范围.b形结合)变式1:已知函数/(兀)=2卜一213、+ax(xwR)有最小值,则实常数a的取值范围是—变式2:函数f(x)=x+cx—114、在(0,+对上有最大值,则实数a的取值范围是探究7:(2009,天津)关于兀的不等式(2x-1)2<^的解集中的整数恰有3个,则实数。的取值范围是25,49・——15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象,见图1.1;由题意,要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(16、)=0,由图象得到,原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3;则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时,y=/(x)单调递增,且y>4;当00;当无冷时,y=/(x)单调递增,且017、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到18、2兀-l19、v需卜20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=21、/?(x)22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=424、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
9、x+l
10、+«-l)(6Z<1)的定义域为A,集合B={AjcOS7ZX=l),(C“A)r)3恰好有两个元素,求实数G的取值范围.一2<。50探究6:已知是实数,函数/(兀)=处+加一1
11、(灼尺)(1)若a"w(-2,2)
12、,且函数/(x)在(0,+oo)内存在最大值,试在平面直角坐标系aOb内,求出动点(G0)运动区域的面积;4(数(2)若b>0,且关于x的不等式/(x)<0的解集中的整数恰有2个,试求?的取值范围.b形结合)变式1:已知函数/(兀)=2卜一2
13、+ax(xwR)有最小值,则实常数a的取值范围是—变式2:函数f(x)=x+cx—1
14、在(0,+对上有最大值,则实数a的取值范围是探究7:(2009,天津)关于兀的不等式(2x-1)2<^的解集中的整数恰有3个,则实数。的取值范围是25,49・——15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象,见图1.1;由题意,要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(16、)=0,由图象得到,原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3;则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时,y=/(x)单调递增,且y>4;当00;当无冷时,y=/(x)单调递增,且017、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到18、2兀-l19、v需卜20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=21、/?(x)22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=424、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
15、令g(兀)=(2兀-1)2,/z(x)=ar2.易知当合题意.分别作出函数图象,见图1.1;由题意,要使g(x)<〃(x)y=力(兀)的图象应在函数.y=g(x)的图象上方.又^(
16、)=0,由图象得到,原不等式解集中的3个g(D<〃⑴1,2,3;则有不等式组鬻:篇成立,916g(4)>A(4)令g(x)=d,/(x)=2-+),当xvO时,y=/(x)单调递增,且y>4;当00;当无冷时,y=/(x)单调递增,且017、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到18、2兀-l19、v需卜20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=21、/?(x)22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=424、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
17、«(4),即—<«<—・空.对不等式两边yfci>2・令X个单调区间内都满足条件解法1・3易知当。〉0时,原不等式的解集非同时开平方,得到
18、2兀-l
19、v需卜
20、・由心0得f(x)=2--,g(x)=V^.由于函数/?(%)=2+—在每XX是增函数,则/(A-)=
21、/?(x)
22、的图象如图1.3所示.因此,当原不等式的解集中恰有3个整数时,应g(<3厂)
23、2时,此时6/>二—,令/二尢一2>0,则a>t+-+4x—2t通过画图可得:当x<2时,同理可得—丄'L3丿并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1原不等式可转化为兀-2)・令在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1,当°=0时,设不等式解集为A,且40.当。>0时,首先,易知当Ovav8时,函数y=g⑴的数y=/(x)图象下方.因此,要使函数y=g(x)图象在上/(X)=X2图象始终在函方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数,则d>8;同时,当^=8时,直线和抛物线相切于点(4,16).由图象知,当«>8时,x=4
24、为解集A中的一个整数.那么另一个整数则为3或5,即有:3wA5^A为1或中的x=20寸,不上,满足条件a>—;当x<2时,
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