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1、在如图7-26所示的三棱锥P—ABC中，PA丄平面ABC,PA=AC=1,PC=BC,PB和平面ABC所成的角为30%(1)求证：平面PBC丄平面PAC；(2)求AB的中点M到直线PC的距离。如图8-32,在正三棱柱ABC—AiBjCi中，EEBBp截面A
2、EC丄侧面AC
3、。(1)求证：BE=EBl；(2)若AA
4、=AiBi，求平而A]EC与平而A
5、BiG所成二面角(锐角)的度数。已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G(如图7-28),将此三角形沿DE折成二面角A—DE—B。(1)求证：平面AGF丄平面
6、BCED；(2)当二面角A，—DE—B为多大吋，异血直线AZE与BD互相垂直？证明你的结论。4在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ZBAD=60°,AB=4,AD=2,狈9棱PB=VB,PD=a/3o(1)求证：BD丄平面PAD；(2)若PD与底血ABCD成60。的角，试求二面角P—BC—A的大小。B图7-2917.解(1)由已知PA丄平面ABC,PA=AC=i,得△PAC为等腰直角三角形,PC=CB=V2o在RtAPAB中，ZPBA=30°,APB=2,AAPCB为等腰直角三角形。TPA丄平面ABC,・・・
7、AC丄BC,又ACAPC=C,PC丄BC,ABC丄平面PAC,TBC呈平面PBC,二平面PBC丄平面PAC。・・•平面PAC丄平面ABC且相交于AC,AMD丄平面PAC。过D作DE丄PC,垂足为E,连结ME,则DE是ME在平面PBC上的射影，VDE丄PC,Z.ME丄PC,ME的长度即是M到PC的距离。1V2在RtAABC中，・.・MD〃BC,AMD=一BC=—。在等腰RtAPAC中，2272DE=DCsin45°=—,4在RtAABC中八・MD〃BC,1V2•■-MD=IBC=T°在等腰吐PAC中，AME=7mD2+DE1
8、即点M到PC的距离为学1&解（1）在截面AiEC内，过E作EG丄A
9、C,G是垂足。：•面A】EC丄面ACi，AEG丄侧面AC],取AC的中点F,连结BF,FG,由AB二BC得BF丄AC。：•面ABC丄侧面AC】，・・・BF丄侧面ACi，得BF〃EG°由BF,EG确定一个平面，交侧面AC】于FGoTBE〃侧面ACi,ABE/7FG,四边形BEGF是平行四边形，BE二FG。VBE//AA),・・・FG〃AA
10、。又△AAQsAFGC,且AF二FC,・FG=-AA
11、=-BB
12、,即22BE=-BB
13、,故BE二EB
14、。21ZDA]B
15、]=ZAiDBl—(180°-2（2）分别延长CE、°冋交于点D，连结2®〃CG，EB^BB^CG，ADBi=-DCi=B1Ci=AlB
16、。TZB
17、A
18、C
19、=ZB
20、C
21、A
22、二60。,2ZDB1A））=30°,.ZDA
23、C
24、=ZDA
25、B
26、+ZB
27、A
28、C
29、=90o,即DA
30、丄A
31、C
32、。VCC）丄平面AiCjBj,即A
33、C
34、是AjC在平面AjCjD上的射影，根据三垂线定理得DA】丄A
35、C
36、,AZCAjCi是所求二面角的平面角。VCCi=AAi=A
37、B
38、=AiCi,ZA1C1C=90°,・・・ZCA]C]=45。,即所求二面角为
39、45。。19.解（1）•「△ABC是正三角形，AF是BC边的中线，AAF丄BC。又D、E分别是AB、AC的中点,DE#丄BC。=2・・・AF丄DE，又AFCIDE=G,・・・A'G丄DE,GF丄DE,ADE丄平面ATG,又DE呈平面BCED,・•・平面ATG丄平面BCEDo(2)・・・A'G丄DE,GF1DE,・•・ZAZGF是二面角A，—DE—B的平面角。・・•平面AzGFn平面BCED=AF,作A，H丄AG于H,:.AZH丄平面BCEDo假设A，E丄BD,连EH并延长AD于Q,贝0EQ丄AD。VAG丄DE,・・・H是正
40、三角形ADE的重心，也是中心。aV31V3*.*AD=DE=AE=—,A'G=AG=a,HG=—AG=a。24312,A,,HG1在RtAA'HG中，cosZA7GH==-.A'G3TZA'GF=n-ZA'GH,/.cosZA'GF=-—,/•ZAzGF=arcos(-—),33即当ZAzGF=arcos(--)吋，A，E丄BD。320.解(1)由已知AB=4,AD=2,ZBAD=60°,得BD2=AD2+AB2-2AD-ABcos60°=4+16-2x2x4x-=12<>2/.ab2=ad2+bd2,AAABD是直角三角
41、形，ZADB=90°,即AD±BDoF在ZkPDB中，PD=V3,PB=VT5,BD=VT2,APB2=PD2+BD2,故得PD丄BDo又PDAAD=D,・・・BD丄平面PAD。(2)VBD丄平面PAD,BD呈平面ABCD,・•・平面PAD丄平面ABCDo作PE丄AD于E,又PE呈平面PAD,APE丄平
