9.利用定积分思想.证明数列和型不等式

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1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)利用定积分思想.证明数列和型不等式证明数列和型不等式的新路证明“不等式0,则:①若f(x)为单调递减的凹函数,则对任意的n≥1,有<<;②若f(x)为单调递增的凹函数,则对任意的n

2、≥1,有<<.[母题解析]:①如图,设A(k,f(k)),B(k,0),C(k-1,0),D(k-1,f(k)),E(k-1,f(k-1)),F(k+1,f(k)),H(k+1,0),则曲边梯形ABCE的面积>矩形ABCD的面积,曲边梯形ABHG的面积<矩形ABHF的面积>f(k),=;同理可证②.同理还可得到凸函数的有关结论.1.单调递减的凹函数子题类型Ⅰ:(2012年天津高考试题)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0

3、,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)证明:-ln(2n+1)<2(n∈N+).[解析]:(Ⅰ)因(x)=1-=(x+a-1)fmin(x)=f(x)的极小值=f(1-a)=1-a=0a=1;(Ⅱ)由f(x)≥00≤f(x)≤kx2k>0;又因f(x)≤kx2x-kx2≤ln(x+1)(函数y=x-kx2与y=ln(x+1)均过点O(0,0),只需函数y=x-kx2在(0,)内单调递增的速度不大于y=ln(x+1)的单调递增速度)当x∈(0,)时,1-2kx≤当x∈(0,)时,2k(

4、x+1)≥12k≥1k的最小值=;(Ⅲ)令g(x)=,则g(x)在(1,+∞)上恒为正,且是单调递减的凹函数=2+<2+=2+ln(2x-1)

5、=2+ln(2n-1)-ln1=2+ln(2n-1)<2+ln(2n+1)-ln(2n+1)<2(n∈N+).[点评]:利用定积分证明数列和型不等式必须证明函数f(x):①f(x)>0;②f(x)的单调性;③f(x)的凸凹性;其f(x)凸凹性的判定是关键,对于简单的函数可利用其图像判定其凸凹性.2.单调递增的凹函数子题类型Ⅱ:(2011年四川高考试题)已知函数f

6、(x)=x+,h(x)=.(Ⅰ)设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程;log4[f(x-1)-]=log2h(a-x)-log2h(4-x);(Ⅲ)试比较f(100)h(100)-与的大小.[解析]:(Ⅰ)由(x)=-F(x)的递减区间是(0,),递增区间是(,+∞),F(x)的极小值F()=;(Ⅱ)由log4[f(x-1)-]=log2h(a-x)-log2h(4-x)x2-6x+a+4=0当4

7、a>5时,无解;(Ⅲ)由h(x)=在(0,+∞)上恒为正,且是单调递增的凹函数<=x

8、=(101-1)f(100)h(100)-=->-(101-1)>.[点评]:通过3.构造并利用黎曼和子题类型Ⅲ:(2003年江苏高考试题)设a>0,如图,己知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0

9、n+1与an的关系,并求{an}的通项公式;(Ⅱ)当a=1,a1≤时,证明:ak+2<;(Ⅲ)当a=1时,证明:ak+2<.[解析]:(Ⅰ)由Qn的横坐标=anQn(an,an2)Pn+1(an2,an2)Qn+1(an2,(an2)2)an+1=an2lgan+1=2lgan-lgalgan+1-lga=2(lgan-lga)lgan-lga=(lga1-lga)×2n-1an=a(;(Ⅱ)当a=1时,考虑到F(x)=x3的导函数f(x)=x2单调递增,作分点xi=ai(i=1,2,3,…,n+1),

10、则ak+2=(a1-a2)a3+f(ak+1)<(a1-a2)a3+=(a1-a2)a3+F(a2)-F(0)=(a1-a2)a3+a23=a16+a15≤()6+()5=;(Ⅲ)ak+2=f(ak+1)<=a13