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《21.射影面积法.妙求二面角》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)射影面积法.妙求二面角求二面角大小的射影面积法求二面角的大小是历年高考的热点,作出二面角的平面角是求二面角的常用方法,当不容易作出二面角的平面角时,如无棱二面角,如何求二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径.[母题结构]:已知平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S0,平面α和平面β所成的二面角的大小为θ,则cosθ=.[母题解析]:如图,平面β内的△ABC在平面α的射影为△BC,作
2、AD⊥BC于D,由A⊥平面α于A⊥BCBC⊥平面AD∠AD为二面角α-BC-β的平面角∠AD=θ;设△ABC和△BC的面积分别为S和S0cosθ=cos∠AD==.1.基本程序子题类型Ⅰ:(1993年上海高考试题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点B、D、C1作截面,则二面角B-DC1-C的余弦值是.[解析]:不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则正△BC1D的边长为2正△BC1D的的面积S=2,又正△BC1D在平面上DCC1D1的射影△C1CD的面积S0=2cosθ==二面角B-DC1-C的余弦值
3、=.[点评]:射影面积法的基本程序是:①在二面角的一个半平面内确定一个三角形,并寻找该三角形在另一个半平面内的射影三角形;②分别求该三角形与射影三角形的面积;③利用公式,求二面角的余弦值.2.无棱二面角子题类型Ⅱ:(2011全国Ⅱ高考试题)已知E、F分别在正方形ABCD-A1B1C1D1棱BB1,CC1上,且B1F=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.[解析]:不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则S△ABC=S0=,AE=EF=,AF=S△AEF=S=,且△AEF在平面A
4、BCD上的射影为△ABC,设面AEF与面ABC所成的二面角为θ,cosθ==tanθ=.[点评]:射影面积法是求二面角大小的重要的间接方法,其显着特点是不需作出二面角的平面角,因此,射影面积法对这种“无棱二面角”求解特别给力.3.特例问题子题类型Ⅲ:(1990年上海市高中数学竞赛试题)过边长为4的等边△ABC的三顶点分别作垂直于它所在平面的垂线AA1、BB1、CC1.若AA1、BB1、CC1的长分别是7、4、1,且在△ABC所在平面的同侧,则△ABC和A1B1C1所在平面所成的二面角的余弦值为.[解析]:在△A1B1C1
5、中,A1B1=5,B1C1=5,A1C1=2△A1B1C1的的面积S=2,又正△A1B1C1在平面上ABC的射影△ABC的面积S0=4,又由面积射影定理知cosθ==.[点评]:若△ABC和A1B1C1的面积分别为S0和S,且AA1⊥平面ABC,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,则△ABC和A1B1C1所在平面所成的二面角的余弦值=.4.子题系列:1.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,则二面角B1-DE-A1的平面角的余弦是.2.(2007年
6、全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知△ABC是正三角形,P是ΔABC所在平面外的一点,且PA=PB=PC,若S△PAB:S△ABC=2:3,则二面角P-AB-C的大小为.3.(2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=a,AB=2a,M、N、E分别是AB、AC、A1B1的中点,那么平面BCE与平面MNE所成的二面角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)4.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)一个棱锥的全面积和底面积的比是m,且各侧面与底面所成的角相等,
7、则侧面与底面所成角的余弦值是.5.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)正n(n∈N,n≥3)棱台上、下底面、侧面的面积依次是S1,S2(S2>S1>0),S侧,若2(S2-S1)=S侧,则棱台侧面与底面所成二面角的大小是()(A)300(B)450(C)600(D)7506.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)正三棱锥的侧棱长与底面边长之比为λ,则侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值是.5.子题详解:1.解:不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B1E=DE=,B1D=2△
8、B1ED的的面积S=,又正△B1ED在平面上ADD1A1的射影△A1DE的面积S0=1面角B1-DE-A1的平面角的余弦==.2.解:设P在平面ABC中射影为O,由PA=PB=PC知OA=OB=OC,即O为ABC的外心,又由面积射影定理知cosθ=,所以二面角P－AB－C的大小为.3.解:由M、N、E分别是AB、AC
