用射影面积法求二面角在高考中的妙用

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1、WORD可编辑文档用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现.求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.AB

2、DC本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.于，，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角—BC—的平面角.设△ABC和△的面积分别为S和，，则..ABD1C1DCA1B1E典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AA1棱的中点，则面BEC1与面AC所成的二面角的大小为()A.B.C.D.解：连结AC，则△在面AC内的射影是△ABC，设它们的面积分别为S和，所成的二

3、面角为.ABD1C1DCA1B1E设正方体的棱长为2，则AB=BC=2，ABDCSBMBD.故答案选D.例2（04北京）如图,已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD⊥面AC,SB=.(1)求证:BC⊥SC;(2)求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成的角的大小.（1）证明：SD⊥面AC，SC在面AC内的射影是SD.又四边形ABCD是正方形，面AC，BC⊥SC（三垂线定理）.技术资料专业分享WORD可编辑文档（2）解：SD⊥面AC，面AC，.又四边形ABC

4、D是正方形，.而，CD⊥面ASD.又AB∥CD，BA⊥面ASD.ABDCSBMBDE△SBC在面SAD的射影是△SAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为..故.所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为.（3）解：取AB的中点E，连结DE、ME.，ME∥SB.异面直线DM与SB所成的角就是，设.ABDCSBMBD，..故.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.解法二：面SAD，SB在面SAD内的射影是SA.DAMCBEF又.而面SAD，（三垂线定理）.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.例3（04浙江）如图

5、，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：面AE⊥平面BDF；DAMCBEFO(3)求二面角A—DF—B的大小.证明：（1）设，则，连结OE.四边形ACEF是矩形，，，EM∥AO.四边形AOEM是平行四边形，从而AM∥EO.又平面BDE，AM∥平面BDE.（2）四边形ABCD是正方形，.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，面BD面AE=AC，，从而.而，.平面BDF，面AE⊥平面BDF.技术资料专业分享WORD可

6、编辑文档（3）解：，.△BDF在面ADF上的射影是△ADF，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.AB=，AF=1，.DAMCBEFO连结FO，则.故.所以二面角A—DF—B的大小为.例4（08天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩PADBC形，已知AB=3，AD=2，PA=2，.（1）证明：AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角P—BD—A的大小.（1）证明：.，即.又四边形ABCD是正方形，.而，AB、PA面PAB，AD⊥平面PAB.（2）AD∥BC，异面直线PC

7、与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即.在△PAB中，AB=3，PA=2，，PADBCE.由（1）得，AD⊥平面PAB.，即.又BC=AD=2，..所以异面直线PC与AD所成的角的大小为.（3）作于E，连结DE.由（1）知，，而，面ABCD.△PBD在面ABCD内的射影是△EBD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为....，.技术资料专业分享WORD可编辑文档所以二面角P—BD—A的大小为.点评：例1和例2中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这

8、两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！VDCAB金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.（1）证明：AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.CBADE2.（06全国Ⅱ）如图