2020版高考数学第六章不等式、推理与证明第38讲数学归纳法课时达标理新人教A版

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1、第38讲数学归纳法课时达标一、选择题1．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.B　解析当n＝k时，有(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，有(k＋2)(k＋3)·…·(2k＋1)(2k＋2)显然增乘的代数式为＝2(2k＋1)．2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2B．3C．5D．6C　解析n＝4时，24＜42＋

2、1；n＝5时，25＞52＋1，故n0＝5.3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2A　解析f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A.4．(2019·黄山高中模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数

3、)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立B　解析根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，假设n＝k(k≥2且k为偶数)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即n＝k＋2时，命题为真，故选B.5．(2019·陆川一中月考)已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为(　　)A．30B．26C．36D．6C　解析因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f

4、(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可以利用数学归纳法作如下简要证明：f(n＋1)＝[2(n＋1)＋7]·3n＋1＋9，所以f(n＋1)－f(n)＝2·3n＋1＋2·(2n＋7)·3n＝(4n＋20)·3n，当n＝1时，该式的值为72可被36整除，当n≥2时，4n＋20可被4整除，3n可被9整除，则(4n＋20)·3n可被36整除，即证．故选C.6．对于不等式

5、，所以当n＝k＋1时，不等式成立．(　　)A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确D　解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D.二、填空题7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证的不等式是________．解析由n∈N*，n>1知n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.答案1＋＋<28．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.解析由(S1

6、－1)2＝S得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.猜想Sn＝.答案9．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)＝________，f(n)＝________(n≥1，n∈N*)．解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝

7、n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.答案4　n2－n＋2三、解答题10．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②可知，对一切n∈N*等式成立．11．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．证明①当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．②假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时，命题成立，即1＋＋＋…