2020版高考数学第四单元三角函数与解三角形课时9正弦定理、余弦定理的综合应用课后作业文（含解析）新人教A版

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1、正弦定理、余弦定理的综合应用1．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bc)，则b－c＝2，cosA＝，则sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝bc＝14，所以bc＝35.所以b＝7，c＝5.3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为7

2、5°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(C)A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60m，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)m，所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.4．(2016·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(C)A.B.C.D.　因为b＝c，所以B＝C

3、.又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sinA)得sin2A＝2sin2B(1－sinA)，即sin2A＝2sin2(－)(1－sinA)，即sin2A＝2cos2(1－sinA)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sinA)，整理得cos2(1－sinA－2sin2)＝0，即cos2(cosA－sinA)＝0.因为0

4、0°，则A，C两点间的距离是　　千米．　在△ABC中，∠ACB＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得＝，解得AC＝.6．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是　　，cos∠BDC＝　　.　依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝.因为cos∠DBC＝－cos

5、∠ABC＝－，所以CD＝＝.由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.7.(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a.　因为·＝－6，所以bccosA＝－6.又S△ABC＝3，所以bcsinA＝6.因此tanA＝－1.又0

6、，则cosA＝(C)A.B.C.D．0　因为∠C的平分线CD把三角形面积分成3∶2的两部分，所以AC∶BC＝3∶2，＝＝，所以＝，所以cosA＝.9．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为　　.　因为bsinC＋csinB＝4asinBsinC，所以由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，所以sinA＝.由余弦定理得cos

7、A＝＝＝＞0，所以cosA＝，bc＝＝，所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.10．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB(ccosA＋acosC)＝b.(1)证明：A，B，C成等差数列；(2)若△ABC的面积为，求b的最小值．　(1)证明：因为2cosB(ccosA＋acosC)＝b，所以由正弦定理得2cosB(sinCcosA＋sinAcosC)＝sinB，即2cosBsin(A＋C)＝sinB.在△ABC中，sin(A＋C)

8、＝sinB，且sinB≠0，所以cosB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.又因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝＝2B，所以A，B，C成等差数列．(2)因为S△ABC＝acsinB＝，所以ac＝6.所以b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac≥ac＝6.当且仅当a＝c时，取等号．所以b的最小值为.