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《2020版高考数学第七章立体几何第44讲用向量方法证明平行与垂直课时达标理新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第44讲用向量方法证明平行与垂直课时达标一、选择题1.若直线l∥平面α,直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,则下列结论可能正确的是( )A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1)B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1)C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1)D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2)C 解析由已知需s·n=0,逐个验证知,只有C项符合要求,故选C.2.(2019·邢台期末)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量为( )A.(,-,)B.(-
2、,,-)C.±(,-,)D.(,,-)C 解析设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则即令z=1,得所以n=(,-1,1).所以平面ABC的单位法向量为±=±(,-,).3.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x=( )A.-2B.-C.D.±D 解析由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±.4.(2019·合肥八中月考)已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(6,-3,6),则
3、下列点P在平面α内的是( )A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)A 解析因为n=(6,-3,6)是平面α的法向量,所以n⊥,在选项A中,=(1,4,1),所以n·=0.5.(2019·南阳期末)若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是( )A.平行B.相交C.垂直D.不确定A 解析v2=-2v1,所以l1∥l2.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A
4、1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交B.平行C.垂直D.不确定B 解析建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1M=AN=,则M,N,=,又C1D1⊥平面BB1C1C,所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.因为·=0,所以⊥,所以MN∥平面BB1C1C,故选B.二、填空题7.若直线l的方向向量e=(2,1,m),平面α的法向量n=,且l⊥α,则m=________.解析因为l⊥α,所以e∥n,即e=λn(λ≠0),亦即(2,1,m)=λ,所以则m=4.
5、答案48.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为________.解析由已知得解得答案,-,49.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.解析由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则得得令z=1,得m=(1,1,1).又n=(-1,-1,-1),所以m=-
6、n,即m∥n,所以α∥β.答案平行三、解答题10.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).(1)因为=(2,0,-2),=(1,0,-1),所以=2,所以PB∥EH.因为PB⊄平面EFH
7、,EH⊂平面EFH,所以PB∥平面EFH.(2)=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1),所以·=0×0+2×1+(-2)×1=0,·=0×1+2×0+(-2)×0=0,所以PD⊥AF,PD⊥AH,又因为AF∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG∥平面BEF;(2)试在棱长BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.解析(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直
8、线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E,F,G,因为=,=,而=,所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.(2)设M(1,1,m),则=(1,1,m),由·=0,·=0,所以-+m=0⇒m=,所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在AA1