2020届高考数学第二篇导数在研究函数中的应用(第5课时)利用导数研究函数零点专题课时作业理新人教A版

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1、第5课时利用导数研究函数零点专题课时作业1.(2019永州三模)已知函数f(x)=(1-2a)lnx+ax2+x.讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数.解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+1==若a=0,由-1<0,f′(x)没有零点;若a<0或a>,由>0,f′=0,-1<0,f′(x)有一个零点;若0<a≤,由≤0,-1<0,f′(x)没有零点.综上所述,当a<0或a>时,f′(x)有一个零点;当0≤a≤时f′(x)没有零点.2.已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx的图象与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解:f′(x)=x(

2、2+cosx),令f′(x)=0,得x=0.∴当x>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增.当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上递减.∴f(x)的最小值为f(0)=1.∵函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,∴当b>1时,曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,b的取值范围是(1,+∞).3.(2019鹰潭一模)已知f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b,曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为2x+y=0.(1)求f(x)的解析式;(2)研究函数f(x)在区间(0,e4]内的零点的个数。解:(1

3、)因为曲线y=f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程为2x+y=0,f′(x)=2ax-(b+1)lnx-b-1,所以解得所以f(x)=x2-(e+1)xlnx-e.(2)由(1)知f(x)=x2-(e+1)xlnx-e.令x2-(e+1)xlnx-e=0,即x-(e+1)lnx-=0,x∈(0,e4].设g(x)=x-(e+1)lnx-,x∈(0,e4],则g′(x)=1-+=.由g′(x)=0,得x1=1,x2=e.∵当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,e)时,g′(x)<0;当x∈(e,e4)时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1

4、,e)上单调递减,在(e,e4)上单调递增,极大值为g(1)=1-e<0,极小值为g(e)=-2<0,g(e4)=e4-4(e+1)-.∵4(e+1)+<4×4+1=17,e4>2.74>2.54>62=36,∴g(e4)>0.因此f(x)在区间(0,e4]内有唯一零点.4.(2019长春市一模)已知函数f(x)=,其中a为实数,常数e=2.718….(1)若x=是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)当a=-4时,求函数f(x)的单调区间;(3)当a取正实数时,若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m有三个实数根,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=因为x=是函数

5、f(x)的一个极值点,所以f′=0,即a-a+1=0,a=.而当a=时,ax2-2ax+1=x2-2x+=x-·x-,可验证:x=是函数f(x)的一个极值点.因此a=.(2)当a=-4时,f′(x)=令f′(x)=0得-4x2+8x+1=0,解得x=1±,而x≠±.所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化是x-∞,--,1-1-1-,,1+1+1+,+∞f′(x)--0++0-f(x)极小值极大值因此f(x)的单调增区间是1-,,,1+;f(x)的单调减区间是-∞,-,-,1-,1+,+∞;(3)当a取正实数时,f′(x)=,令f′(x)=0得ax2-2ax+1=0,当a

6、>1时,解得x1=,x2=.f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,但是函数值恒大于零,极大值f(x1),极小值f(x2),并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x→+∞时,f(x)=→+∞,当x→-∞时,f(x)=→0.因此当f(x2)

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