2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.7解三角形的实际应用练习（含解析）

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1、专题4.7　解三角形的实际应用【考试要求】　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.【知识梳理】1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.【微点提醒】1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题

2、关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√【解析】　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.【教材衍化】2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边

3、选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A.50mB.50mC.25mD.m【答案】　A【解析】　由正弦定理得＝，又∵∠ABC＝30°，∴AB＝＝＝50(m).3.(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.【答案】　a【解析】　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.【真题体验】4.(2018·济南月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察

4、站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°【答案】　D【解析】　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.【答案】

5、　【解析】　如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6××12×sin60°＝.6.(2019·天津和平区调研)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________.【答案】　【解析】　因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，得BD＝＝＝.【考点聚焦】考点一　求距离、高度问题　角度1　测量高度问题【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山

6、顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【答案】　100【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300(m).在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m).【规律方法】　1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞

7、错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A.5B.15C.5D.15【答案】　D【解析】　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC