函数的单调性与二次函数

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1、函数的单调性与二次函数重难点知识归纳（一）函数的单调性1、单调增函数的定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的．3、单调性：如果函数y=f（x）在某个区间是增函

2、数或减函数.那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间．　　说明：（1）增（减）函数等价形式：x1，x2∈[a，b]，那么f(x)在[a，b]上是增函数；f(x)在[a，b]上是减函数．　　（2）函数增减性（单调性）的几何意义，反映在图像上，若f(x)是区间D上的增（减）函数，则图像在D上的部分从左到右是上升（下降）的．4、函数单调性的证明　　证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：　　（1）取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1

3、分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；　　（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；　　（4）判断：根据定义得出结论．（二）二次函数性质的再研究1、二次函数在R上的最值问题　　求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在R上的最值常用方法有：一是配方法，即化为，从而求出它的最值；二是公式法，即利用性质中的结论来确定最值．2、二次函数在闭区间的最值问题　　二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置（在区间上还是在区间左边，还是在区间右边）来决定．当开口方向和对称轴位置不确定

4、时，则需要进行分类讨论．三、典型例题剖析例1、证明函数f(x)=x3＋x在R上单调递增．解析：任取x1、x2∈R，且x1

5、×2＋11=7，即f（2）≥7．例3、讨论函数解析：设－1＜x1＜x2＜1，则f（x1）－f（x2）=.　　.　　∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，　　∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数.f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.例4、已知二次函数f(x)，当x=2时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求解析式．分析：由于二次函数f(x)的最值给出，即顶点坐标给出，可设顶点式，再由待定系数法求出所要定的系数，也可由对称轴方程及图像截x轴所得的

6、线段的长，利用f(x)=0的两根来表示．　　解：设f(x)=a(x－2)2＋16，即f(x)=ax2－4ax＋16＋4a，　　方程ax2－4ax＋16＋4a=0的两根x1，x2，满足

7、x1－x2

8、=8，　　而

9、x1－x2

10、2=(x1＋x2)2－4x1x2=，∴a=－1．　　故f(x)=－x2＋4x＋12．例5、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a＋b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·

11、f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.解析：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1．　　（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.　　∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.　　（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，　　∴f（x2）=f（x2－x1＋x1）=f（x2－x1）·f（x1）.　　∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.　　又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.　　∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增

12、函数.　　（4）解：由f（x）·f（2