函数的单调性与反函数(二)

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1、§2.5.2函数的单调性与反函数(二)设函数f(x)的定义域为I:一、函数的单调性注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.2021/7/202如果函数y=f(x)在

2、某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、单调区间1.取值:对任意x1,x2∈M,且x1

3、成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增四、复合函数的单调性2021/7/2046.奇偶性:7.反函数:奇函数在对称区间上具有相同的单调性;偶函数在对称区间上具有相反的单调性.互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性.五、函数单调性的判定方法1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数.2.导数法:适用于具体函数.3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:2021/7/205六、两类问题的区别1.

4、函数f(x)的单调递增(或递减)区间是D:2.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减):不等式f(x)>0(<0)的解集是区间D;不等式f(x)≥0(≤0)对于xD恒成立.若函数f(x)可导,2021/7/2061.求函数f(x)=x+2-ax的单调区间.解:函数f(x)的定义域为[-2,+∞),①当a≤0时,f(x)>0(x∈(-2,+∞)),∴当a≤0时,定义域[-2,+∞)为f(x)的单调递增区间;∵f(x)=-a=,2x+212x+21-2ax+2②当a>0时,令f(x)>0,则2ax+2<1.∴4a2(

5、x+2)<1而f(x)的单调递减区间是(-2,+∞).4a21x<-2;4a21令f(x)<0,则x>-2.4a21∴当a>0时,f(x)的单调递增区间是[-2,-2),4a212021/7/2072.试讨论函数y=2log2x-2logx+1的单调性.1212解:令t=logx,则t关于x在(0,+∞)上单调递减.12而y=2t2-2t+1在(-∞,]上单减,在[,+∞)上单增,1212又由t≤得x≥,1222由t≥得0

6、121222222021/7/2083.设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当k为何值时,函数f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减.∴不等式f(x)<0的解集为(0,4),∴0与4是方程kx2+2(k-1)x=0的两根,即kx2+2(k-1)x<0的解集为(0,4),故由根与系数的关系可求得k值为.13解:对f(x)求导得f(x)=3kx2+6(k-1)x,(1)∵函数f(x)的单调递减区间是(0,4),2021/7/2093.设函数f(x)=k

7、x3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当k为何值时,函数f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减.(2)命题等价于kx2+2(k-1)x<0对x(0,4)恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于kx+2(k-1)<0对x(0,4)恒成立,由于g(x)的图象为一条直线,g(0)≤0g(4)≤0k≤.13则(或分离变量k<对x(0,4)恒成立.)x+22解:对f(x)求导得f(x)=3kx2+6(k-1)x,2021/7/20104.已知f(x)是定义在R上的

8、增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论.f(x)1分析:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.解:在R上任取x1,x2,设x1f(x1)且:F(x2)-F(x1)=[f(x2)+]-