希尔伯特变换和解析过程

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1、主要内容3.1线性系统基本理论3.2随机信号通过连续时间系统的分析3.3随机信号通过离散时间系统的分析3.4白噪声通过线性系统和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示方法3.7窄带随机过程包络和相位的特性3.8正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性1希尔伯特变换，其希尔伯特设有一个实值函数（或记作）变换记作反变换为希尔伯特7/16/202127/16/202137/16/20214希尔伯特变换←→正交滤波器由可知，的希尔伯特变换看成是：将通过一个具有冲击响应为的线性滤波器（时

2、不变系统）。7/16/202147/16/20215希尔伯特变换的冲击响应及传递函数证明：由对称性性质可知，若，则因为，所以整理得：7/16/202157/16/20216正交滤波器的传输函数7/16/202167/16/20217希尔伯特逆变换为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。证明：若输入信号为通过一个滤波器输出为显然有所以反变换7/16/202177/16/202187/16/20219可见，若x(t)若为t的偶函数，则为t的奇函数。同理，可见，若x(t)若为t的奇函数，则为t的偶函数。7/16/2

3、021107/16/2021111.的希尔伯特变换为。连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相移，正好180度相反。希尔伯特变换的性质7/16/2021127/16/2021137/16/2021142解析过程及其性质定义任一实随机过程，是的希尔伯特变换,即复随机过程定义为为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。7/16/202115解析过程的性质（1）若为实平稳随机过程，则也是实随机平稳过程，且联合平稳。因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。7/16/2

4、02116（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同经傅里叶反变换，得7/16/202117（3）代入令将7/16/202118（4）7/16/202119（5）令并作变量替换希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数7/16/202120（6）表明在同一个时刻t，随机变量和正交，即注意，上式并不意味着和两个随机过程正交。7/16/202121（7）7/16/202122（8）由性质（3）可知，两边取傅里叶变换7/16/202123（9）由性质（7）可知，两边取傅里叶变换解析过程的功率

5、谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的4倍。7/16/2021244017/16/2021257/16/202126将解析信号表达式进行变换：而式中：是频域的单位阶跃函数，因此如果是平稳随机信号，则解析信号是随机的，其频谱为：解析信号本质是原信号的正频率部分，为原信号频谱正频域分量的两倍。它是实信号的一种“简洁”形式。研究解析信号的意义7/16/2021267/16/202127实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率包络，瞬时振幅瞬时相位瞬时频率7/16/20

6、21277/16/202128Matlab实例clc;clearall;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n)%信x的表达式y=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);%求信号x的包络，瞬时振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信号x(t)')subplot(2,2,2);plot(A);title(‘信号x(t)的包络')

7、thet=atan(iz./rz);%求信号x的瞬时相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(‘信号x(t)的瞬时相位’)7/16/2021287/16/2021297/16/202129例设低频信号的频谱为证明：当时，满足7/16/202130设证其频谱为：其希尔伯特变换的频谱密度为：同理可证：7/16/202131