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《12.回归定义.求二面角的大小》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)回归定义.求二面角的大小立体几何中的基本问题之八求二面角的大小是现行课标高考理科立体几何解答题的中心,求解方法有综合几何法和解析向量法,其中,综合几何法又分为直接法和间接法,直接法又称定义法,回归定义是重要解题方法.[母题结构]:求二面角大小的定义法.[解题程序]:求二面角大小的定义法的关键是作出二面角的平面角,基本程序是一找二证三求:找出这个二面角的平面角,然后证明我们找出来的这个角是要求的二面角的平面角,最后通过解三角形来求.1.垂线构造子题类型Ⅰ:(2014年课
2、标Ⅰ高考试题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=600,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.[解析]:(Ⅰ)设BC1与B1C交于点O,由B1C⊥BC1,AB⊥B1CB1C⊥平面ABC1B1C⊥OAOA⊥B1CAC=AB1;(Ⅱ)作B1H⊥AB于H,则CH⊥AB∠B1HC是二面角B1-AB-C的平面角;设B1C=2,则AB1=AC=,AO=1,BO=AB=2B1H=CH=cos∠B1HC=-;由平面A1B1C1∥平面ABC二面角A-A1B1-C1的余弦值=.[点评]
3、:回归定义求二面角大小的关键是作出二面角的平面角,充分利用对称性,作棱的垂线是构造平面角的绝妙方法.2.三垂线法子题类型Ⅱ:(1994年全国高考试题)如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(Ⅰ)证明:AB1∥平面DBC1;(Ⅱ)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[解析]:(Ⅰ)设B1C交BC1于E,则E是B1C中点DE∥AB1,又DE平面DBC1,AB1平面DBC1AB1∥平面DBC1;(Ⅱ)作DF⊥BC于F,则DF⊥面B1BCC1DF⊥BC1;由AB1⊥BC1,DE∥AB1DE⊥BC1BC1⊥面DEF∠DEF是二
4、面角α的平面角;设AC=4,则CD=2,CF=1DF=;取BC的中点G,则EG⊥BCEF2=BFGFEF=∠DEF=450二面角α=450.[点评]:在一个平面内选一点向另一平面作垂线,再过垂足向棱作垂线,即可构造二面角的平面角,此谓三垂线法.3.中点构造子题类型Ⅲ:(2004年全国Ⅰ高考试题)如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为1200.(Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离;(Ⅱ)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.[解析]:(Ⅰ)作PO⊥平面ABCD于点O,则PO⊥AD;设
5、OB与AD交于点E;由PB⊥ADAD⊥平面PBOAD⊥OB,AD⊥OE,AD⊥PE点E为AD的中点,∠PEO=600PE=OP=点P到平面ABCD的距离=;(Ⅱ)如图,取PB的中点G,PC的中点F,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=BC=1;由AD⊥PBBC⊥PBFG⊥PB∠AGF是所求二面角的平面角;由PE=BEEG⊥PB,且∠PEG=600EG=,AG=cos∠AGF=cos(900+∠AGE)=-sin∠AGE=-=-.[点评]:当有中点条件出现或适当地引入中点,并灵活运用中点性质,是构造二面角的平面角的常用方法.4.子题系列:1.(2007年课标高考试题)如图,在三棱
6、锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,ÐBAC=900,O为BC中点.(Ⅰ)证明:SO⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.2.(2006年重庆高考试题)如图,在正四梭住ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BB1=+1,E为BB1上使B1E=1的点,平面AEC1交DD1于F,交A1D1的延长线于G.求:(Ⅰ)异面直线AD与C1G所成的角的大小;(Ⅱ)二面角A-C1G-A1的正切值.3.(2006年山东高考试题)如图,已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-A1B1C1的底面ABC,等边ΔAB1C所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=900,设A
7、C=2a,BC=a.(Ⅰ)求证:直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线;(Ⅱ)求点A到平面VBC的距离;(Ⅲ)求二面角A-VB-C的正切值.4.(2011年广东高考试题)如图,在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=600,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(Ⅰ)证明:AD⊥平面DEF;(Ⅱ)求二面角P-AD-B的余弦值.5.(2005年全国Ⅲ高考试题)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证:AB⊥面VA
