【题06】方格取数

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1、【题6】方格取数设有n*n的方格图（Ｎ≤８），我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字０。如下图所示（见样例）：向右　A12345678100000000200130060030000700040001400005021000400　　　向6001500000　　　下7014000000800000000某人从图的左上角的Ａ点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的Ｂ点。在走过的路上，它可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字０）。此人从Ａ点到Ｂ点共走两次，试找出２条这样的路径，使得取得的数之和最大。输入：输入的第一行为一个整数

2、Ｎ（表示Ｎ＊Ｎ的方格图），接下来的每行右三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的０表示输入结束。输出：只需输出一个整数，表示２条路径上取得的最大的和分析：我们对这道题并不陌生。如果求一条数和最大的路径，读者自然会想到动态程序设计方法。现在的问题是，要找出这样的两条路径，是否也可以采用动态程序设计方法呢？回答是可以的。1、状态的设计对于本题来说，状态的选定和存储对整个问题的处理起了决定性的作用。我们从（1，1）出发，每走一步作为一个阶段，则可以分成2*n-1个阶段：第一个阶段，两条路径从（1，1）出发；第二个阶段，两条路径可达（2，1）和

3、（1，2）；第三个阶段，两条路径可达的位置集合为（3，1）、（2，2）和（1，3）；…………………………第2*n-1个阶段，两条路径汇聚（n，n）；在第k(1≤k≤2*n-1)个阶段，两条路径的终端坐标（x1，y1）（x2，y2）位于对应的右下对角线上。如下图所示：如果我们将两条路径走第i步的所有可能位置定义为当前阶段的状态的话，面对的问题就是如何存储状态了。方格取数问题的状态数目十分庞大，每一个位置是两维的，且又是求两条最佳路径，这就要求在存储上必须做一定的优化后才有可能实现算法的程序化。主要的优化就是：舍弃一切不必要的存储量。为此，我们取位置中的x坐标（x

4、1，x2）作状态，其中（1≤x1≤k）and（x1{1‥n}）and（1≤x2≤k）and（x2{1‥n}）直接由X坐标计算对应的Y坐标：（y1=k+1-x1）and（y1{1‥n}）and（y2=k+1-x2）and（y2{1‥n}）2、状态转移方程设两条路径在k阶段的状态为（x1，x2）。由（y1=k+1-x1）∧（y1{1..n}）得出第一条路径的坐标为（x1，y1）；由（y2=k+1-x2）∧（y2{1..n}）得出第二条路径的坐标为（x2，y2）。假设在k-1阶段，两条路径的状态为（x1’，x2’）且（x1’，x2’）位于（x1，x2）状态的左邻或下

5、邻位置。因此我们设两条路径的延伸方向为d1和d2：di=0，表明第i条路径由（xi’，yi’）向右延伸至（xi，yi）；di=1，表明第i条路径由（xi’，yi’）向下延伸至（xi，yi）（1≤i≤2）。显然（x1’=x2’）∧（d1=d2），表明两条路径重合，同时取走了（x1’，y1’）和（x1，y1）中的数，这种取法当然不可能得到最大数和的。分析两种可能：Page:2⑴若x1=x2，则两条路径会合于x1状态，可取走（x1，y1）中的数(如下图)；x1’(x2’)→x1=x2↑x2’(x1’)⑵若x1≠x2，则在k阶段，第一条路径由x1’状态延伸至x1状态，

6、第二条路径由x2’状态延伸至x2状态，两条路径可分别取走（x1，y1）和（x2，y2）中的数(如下图)；设f[k，x1，x2]—在第k阶段，两条路径分别行至x1状态和x2状态的最大数和。显然k=1时，f[1，1，1]=0；k≥2时，f[k，x1，x2]=max{f[k-1，x1’，x2’]+(x1，y1)的数字▏x1=x2f[k-1，x1’，x2’]+(x1，y1)的数字+(x2，y2)的数字▏x1≠x2}1≤k≤2*n-1，x1’可达x1的状态集合，x2’可达x2的状态集合，（x1’≠x2’）∨(d1≠d2)；上述状态转移方程符合最优子结构和重叠子问题的特性

7、，因此适用于动态程序设计方法求解。由于第k个阶段的状态转移方程仅与第k-1个阶段的状态发生联系，因此不妨设f0—第k-1个阶段的状态转移方程；f1—第k个阶段的状态转移方程；初始时，f0[1，1]=0。经过2*n-1个阶段后得出的f0[n，n]即为问题的解。3、多进程决策的动态程序设计由于方格取数问题是对两条路径进行最优化决策的，因此称这类动态程序设计为分阶段、多进程的最优化决策过程。设阶段i：准备走第i步（1≤i≤2*n-1）；状态（x1’，x2’）：第i-1步的状态号（1≤x1’，x2’≤i-1。x1’，x2’{1..n}）决策（d1，d2）：第一条路径由

8、x1’状态出发沿d1方向延伸、第二条路