模糊关系与聚类分析

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1、13.F关系与聚类分析3.1F关系的定义和性质3.2F矩阵3.3F关系的自反性与对称性3.4λ截集3.5F关系合成23.F关系与聚类分析3.6F关系的传递性3.7F等价关系及聚类图3.8F相似关系3.9F聚类分析3三、模糊关系合成运算性质：(1)合成运算满足结合律(Q◦R)◦S=Q◦(R◦S)，特别地Rm◦Rn=Rm+n。(2)合成运算关于并“⋃”满足分配律(Q⋃R)◦S=(Q◦S)⋃(R◦S),(1)S◦(Q⋃R)=(S◦Q)⋃(S◦R)。(2)4证明只证(1)。设Q，RF(UV),SF(VW),故有(Q⋃R)◦S=(Q◦S)⋃(R◦S)。5第二式证明相似。应注意的是，1)合成运

2、算不满足交换律，即Q◦RR◦Q。如设则因此，Q◦RR◦Q。62)合成运算对交“”不满足分配律，即有下列二式：(QR)◦S(Q◦S)(R◦S),S◦(QR)(S◦Q)(S◦R)。(QR)◦S(Q◦S)(R◦S),S◦(QR)(S◦Q)(S◦R)。例如：则7因此(QR)◦S(Q◦S)(R◦S)。同样可以举出反例来说明第二个式子。◦R=R◦=,(UV)◦R=R◦(UV)=R。(4)若QR，则Q◦SR◦S，P◦QP◦R,QnRn8定义9:设RF(UV)，定义R-1F(VU)的隶属函数为R-1(v，u)=R(u，v)((v，u)VU

3、),称V到U的模糊关系RT为R的转置关系。命题4:转置关系有下述性质：设R，R1，R2F(UV)，{Rt

4、tT}F(UV),SF(VW),则(1)若R1R2R1TR2T。(2)(RT)T=R。9推论(1)设RF(UU)，则(Rn)T=(RT)n。(2)设R，QF(UU)且RQ,则RnQn(n为正整数)。103.6F等价关系定义10:设RF(UU)(1)称R是自反的uU，R(u,u)=1。(2)称R是对称的u,vX，R(u,v)=R(v,u)。(3)若R是U上的自反、对称关系，则称R是U上的模糊相似关系，简称相似关系。11命题5设RF(UU

5、)，则(1)R是自反的IR。(2)R是自反的RnRn+1(n1)且Rn也是自反的。证明(1)显然。12(2)用归纳法证明包含式RnRn+1。(u,v)UU,有故RR2。设Rn-1Rn，由（7）式可得Rn-1◦RRn◦R,即RnRn+1。因IRRn(n1)，由(1)知Rn是自反的。13命题6设R，R1，R2F(UU)，则有(1)R是对称的R=RT。(2)若R1、R2都是对称的，则R1◦R2对称R1◦R2=R2◦R1(即R1、R2是可以交换的）。(3)R是对称的Rn是对称的(n1)。证明(1)由对称关系的定义可得。14(2)先证()：若R1◦R2是

6、对称的，因R1、R2也对称，故R1◦R2=(R1◦R2)-1=R2-1◦R1-1=R2◦R1。再证()：若R1◦R2=R2◦R1，则(R1◦R2)-1=R2-1◦R1-1=R2◦R1=R1◦R2由(1)知，R1◦R2是对称的。(3)若R对称，则有(Rn)-1=(R-1)n=Rn。由(1)知，Rn是对称的。15推论(1)若R是U上的相似关系，则Rn也是U上的相似关系。(2)设RF(UU)是任一模糊关系，则R◦RT是U上的对称关系。证明因(R◦RT)T=(RT)T◦RT=R◦RT，由命题(1)知，R◦RT是对称的。16定义11设RF(UU)，R为传递的[0，1]，u，v，w

7、U，R(u,v)，R(v,w)，则R(u,w)。命题7设R，R1，R2F(UU)，则(1)R是传递的R2R。(2)若R是传递的Rn是传递的(n1)。(3)R1、R2是传递的R1R2是传递的。17证明(1)先证()：设u，vU，tU，令t=R(u,t)R(t,v)，则R(u，t)t，R(t，v)t。由于R是传递的,故R(u,v)t(tU)，于是18由u，v的任意性知R2R再证()：若R2R且R(u，v)，R(v，w)于是由定义11知R是传递的。19(2)若R是传递的，则由(1)有R2R，进一步由(7)右边一式得(R2)

8、nRn又由(Rn)2=(R2)n，联合上面两式，得(Rn)2=(R2)nRn，最后由(1)知Rn是传递的。20(3)我们可以用两式证明(Q⋂R)◦S(Q◦S)(R◦S),S◦(Q⋂R)(S◦Q)(S◦R)。应用上面两式，得(R1R2)2=(R1R2)◦(R1R2)(R1◦(R1R2))(R2◦(R1R2))(R1◦R1)(R1◦R2)(R2◦R1)(R2◦R2)21R12R22。因为