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1、利用投影法巧解数量积片断教案（人教版笫二章第pq节）广东实验中学杨淑苹该片断的教学目的、内容分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。同时它也是高考的热点内容。考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义a・b=ab・cose,（2）建立适当的在直角坐标系后利用ab=xix2+yiy2去转化。解题时，前
2、者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。事实上，数量积具有几何意义,q方向上的投影bcosO的乘枳。利用儿何意义解题，可以把bcose看成一个整体，把两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替,实现了降元的目的，简化运算。这是把数T形的过程，可以揭示变化图形屮数量积不变性的本质，形象直观。可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积儿何意义形式本身，应用投影法解题不多。纵观近儿年高考题，如杲能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大
3、简化运算，提高速度！本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法一一投影法。希望学生能理解它的原理并会运用。特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角&也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投彫有正负。该片断教学的重点和难点：重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。难点：掌握投影法适用的
4、题型，把数量积的最值转化成投影的最值。该片断教案主体:教学步骤预计时间教学内容教师活动学生活动11引言导入师：向量是既有大小又有方向的量，它是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。数量积是向量这一章的重要内容，把形转化为数。同时它也是高考的热点问题。考试中多以小题出现，因此，我们不仅要做对还要速度快，恰当选择方法是关键。今天我们就来看看如何巧解数量积，秒杀试题！例己知正六边形ABCDEF中，求下列数量积的最大值（）（1）引导同学们回顾数量积的定义和求解方法。板书定义法、坐标法。1.定义法：ci-b=abcos6（1）一起回顾数量积定义和求解方法。用定义法、
5、坐标法独立作答给出本题答案。2.坐标法：ab-xrx2+y2A.AB-ACB.C.ABAED.ABADABAF（两定向量的数量积）1•定义法：ab=abcos0教师用幻灯片同步展示过程设4B=a,A:在AABC中，ZB=120°,AB=BC=e所以ABAC=30°,且由余弦定理，AC=V3«,所以ABAC=AB•ACcosZBAC=a•y[3a•cos303o=—a~o2（2）请用定义法、坐标法的同学说一下解题过程，教师用幻灯片同步展示。B:由正六边形的性质知，AD=2a,ZBAD=60^所以,ABAD=ABADcosZBAD=a-2a-cos60°=a~C:由题意
6、可知，FAE三BAC、AE=AC="a,ZFAE=30°所以，ZEAB=90°.所W,ABAE=0D:忑•乔二aa・cosl20°所以，选A.2.坐a^b=xix2+yiy2教师用幻灯片同步展示过程以A为原点，以AB,AE所在直线为坐标轴建立直角坐标系。不难写出各点的坐标：A(0,0),B(Clfi),C(-Cl,——■Cl)22(3)请用坐标法的同学说一下解题过程，教师用幻灯片同步展示。D(ci,y/^ci),E(0,y/3ci)F(—a,ci)22A.ABACB.ABADABAC^ABACcosZBAC所以，选A.(1)引导同学们关注这两种办法运算量都偏大，
7、是否还有更快捷的方法？(2)引导学生观察四个选项，有共同的乔，回到定义上，就含有相同的AB,(2)复习投影、数量积的几何意义，理解投影法的本质。ABAD^ABADcosZBADABAE=ABAEcos^BAE因此，比较数量积的大小转化为比较另一个向量的长度和夹角余眩的乘积大小即可。引出投影。ABAlAliAFcosZ^/l?*所以,—-—*3y[3AB=(d,0),AC=(—q,—),22AD=(a,初0),AE=(0,f173AF=(--a,—a)22所以，rAB・AC=ci•一+0•—ci=一cr222ABAD=d•q+0•^3a=a2ABAE=q•0+0•
