多面体与球

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1、1．3球的体积和表面积（附同步练习）何玉杰球的截面及切接问题例1　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3答案　A解析　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．总结　(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问

2、题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.*xx*k.Com]例2　(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为______．答案　9π总结　(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，

3、称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.[

4、来源:例3表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(　　)A.πB.πC.πD.π解析：将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.∵正四面体的表面积为，∴4×a2＝，解得a＝，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，∴2R＝×，∴R＝，∴球的体积为π·3＝π，故选A总结：1、三棱锥外接于球，有一个顶点处的三条棱两两相互垂直，则这三条棱长的平方和等于球的直径的平方。2、正三棱锥外接于球，则球心在正三棱锥的高线上；侧棱、高线、底面三角形的半径构成直角三角形（其中），球心在一条直角

5、边上。3、正四面体外接于球，与正三棱锥外接于球相同，其中侧棱与底面边长相等，，。同步练习1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(　　)A．1B．2C．3D．4[来源:Zxxk.Com]【答案】　A2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为(　　)A.，B.，1C.，1D.，【答案】　A3．一个正四棱柱的各

6、个顶点都在一个半径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为(　　)A．(2＋4)cm2B．(8＋16)cm2C．(4＋8)cm2D．(16＋32)cm2【答案】　B4．一平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3【答案】　C5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)A．4π(r＋R)2B．4πr2R2C．4πRrD．π(R＋r)2【答案】　C6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶

7、点均在同一球面上，则该球的体积为(　　)A.B．4πC．2πD.π【答案】　D7．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．【答案】　3∶1∶2[来源:学科网ZXXK]8．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.【答案】　100π9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．【答案】　10．

8、如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为________．[来源:学.科.网]【答案】　3∶211．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AC＝3，AB＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为_