圆的对称性 教学设计

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1、圆的对称性教学目标(一)教学知识点1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．(二)能力训练要求1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．(三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理的证明．指导探索和自主探索相结合．投影片两张：第一张：做一做

2、(记作§3．2．1A)第二张：想一想(记作§3．2．1B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．Ⅱ．讲授新课[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？[生]圆是轴对称图形，过圆心

3、的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．[师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]很好．教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过

4、圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：1．弧包括优弧(majorarc)和劣弧(minorarc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．直径是弦，但弦不一定是直径．下面

5、我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．[师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．[师]很好．在上述的操作过程中，

6、你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM＝BM，，．[师]为什么呢？[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．[

7、师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．∴点A和点B关于CD对称．∵⊙O关于直径

8、CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴=，=．[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3－7，在⊙O中，下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF