反比例函数图象性质的再探

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1、反比例函数图象的性质再探古城中学赵吉清教学目标知识与能力：掌握反比例函数图象的性质：“一般地，如果直线与反比例函数图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于C、D两点，那么AC=BD.”过程与方法：经历反比例函数函数图象上述的性质的探究过程，并能应用这一性质解决相关问题.情感、态度与价值观：体会由特殊到一般，由一般到特殊的探究方法，在解决与反比例函数图象有关的问题中感受数形结合，转化思想、方程思想.重点：反比例函数图象的性质的探究及证明.难点：中考链接中的例题综合运用反比例函数的性质.教学设计引入师：前面的课中我们回顾了一次函数与

2、反比例函数的解析式、图象与性质、图象交点等问题，在复习一次函数与反比例函数相交时，老师发现一个有趣的现象：算一算（课前完成）如图，直线y=-x+3交反比例函数（k≠0）于A、B两点，交坐标轴于C、D两点，求AC与BD的长。计算结果：AC=BD=（学生口答）再算一算：（分组完成：女生第（1）题，男生第（2）题）（2）当直线为，反比例函数为时，求AC与BD的长。（1）当直线为，反比例函数为时，求AC与BD的长。5OABDCxyOABCDBA计算结果：（多媒体展示学生计算过程，并让学生说说思路:计算点A、B、C、D的坐标，分别过点

3、A、B作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。）第（1）题AC=BD=；第（2）题AC=BD=师：发现了……生：AC=BD猜想：如图，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，交坐标轴于C、D两点，此时，线段AC=BD师：根据刚才的探索，我们可以发现交点A、B的位置分两种情况：（1）在同一象限；（2）在两个象限。这里以两交点在同一象限为例进行证明。ABCDOPGHFExy证明：如图，分别过点A、B作AE⊥y轴、BG⊥y轴作AH⊥x轴，BF⊥x轴，由K的几何意义，得S矩形AEGP=S矩形BPHF∴AE•AP=BP•BF则……①易

4、得，△APB∽△BFD，△AEC∽△DFB∴……②由①②得，AE=DF,则△AEC≌△DFB∴AC=BD归纳发现如上图，一般地，如果直线与反比例函数图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于C、D两点，那么线段AC=BD运用新知1.如图，直线y=kx+b与反比例函数的图象交于A、B两点，5DCBAOyx与坐标轴交于C、D两点，连结OA，OB。判断下列说法是否中正确，并说明理由。①AC=BD；②AC=AB；③AD=BC；④S△AOC=S△BOD；⑤S△COB=S△AOD；⑥AO=BO解：①③④④2.如图，直线y=ax+3与反比例函数

5、的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连结OA，OB.已知AB:BD=3:1，BD=1（1）你能求出哪些量？（让学生思考后回答）有关长度的结论：AC=1，AB=3，CD=5，OC=3，OD=4等；有关点的坐标：点D（0，3），点C（4，0）；有关解析式：直线CD:等；（2）能求出k的值吗？点A的坐标？（追问：点B的坐标呢？）（学生回答）分析：要求k的值，可先求点A或点B的坐标，分别作AE⊥y轴于E，AF⊥x轴于H，由题意，得△AEC∽△DOC，则，∴AE=,类似的，,∴点A，则k=同理，点BHGyxDOABCFE归纳

6、小结：（学生说，教师小结）板书：AC=BD→作垂线，构相似→相似比→线段长→点的坐标→解析式5中考链接（2016丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．（1）b=　　　　　　（用含m的代数式表示）；（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是　　　　　　．（学生合作完成，多媒体展示）解：（1）；（2）；课时小结1.通过本节课的学习，你有哪些收获？2.你在哪些地方还存在疑惑？

7、教师小结1.探索一个结论：AC=BD2.学习一种方法：特殊→一般→特殊3.数学思想：数形结合，转化思想，方程思想课后巩固1.如图，矩形AOBC的顶点O在坐标原点，OA=3，OB=4，F在BC上（不与B，C重合），过F的双曲线与AC交于点E，直线EF与坐标轴交于点D，G，若DE•EG=，则　　　．ABCDxyO2．如图，直线AB与反比例函数的图象两个交点A、B在双曲线的两个分支上。证明：AC=BD5（2015江西）3.如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交

8、于点P(x0，0)，与y轴交于点C．(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)．求点P的坐标；(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标；(3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系(不要求证明)．5