多元正态分布均值向量和协差阵的检验

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1、多元统计分析党耀国经济与管理学院Iamdangyg@163.com第三章多元正态分布均值向量和协差阵的检验一、均值向量的检验二、协差阵的检验1、霍特林（Hotelling）分布由于这一统计量的分布首先由霍特林提出来的，故称为霍特林T2分布。值得指出的是，我国著名的统计学家许宝騄先生在1938年用不同的方法也导出T2分布的密度函数。在一元统计中，若来自总体的样本，则统计量其中显然与上面给出的T2统计量形式类似，且，可见T2分布是t分布的推广。在一元统计中，若分布，则分布，即把t分布转化为F分布来处理，在多元统计分析中统

2、计量也有类似的性质。这个公式在后面检验中经常用到。2、一个正态总体均值向量的假设检验这里需要对统计量的选取做一些解释，说明为什么统计量服从分布。根据二次型分布定理，若则显然而故在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量的检验可以联合使用，多元的检验具有概括和全面的特点，而一元的检验容易发现各变量之间的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析的信息。例1：对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表所示：编号身高（cm)胸围（cm)上半臂围（cm)17860.616.527658.112.53

3、9263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的三个指标的均值为（90，58，16），假定总体服从正态分布，问该地区农村男婴与城市男婴在上述三个指标的均值有无显著性差异？显著性水平取0.01。这是一个假设检验问题：3、两个正态总体均值向量的假设检验当两个总体的协方差阵未知时，自然会想到用每个总体的样本协方差阵和去代替，而又由于所以有以后假设统计量的选取和前面统计量的选取思路是一样的，只提出待检验的假设，然后给出统计量及其分布，为节省篇幅，就不再

4、重复解释。例3.2为了研究日美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异，今从两国在华投资企业中各抽取10家，让其对中国的政治、经济、法律、文化等环境进行打分，其结果如表3.2和表3.3。（数据来源于国务院发展研究中心APEC在华投资企业情况调查）表3.2美国在华投资企业的打分序号政治环境经济法律环境文化环境1653525602755020553604535654754040705703030506554035657604530608654025609605030701055553575表3.3日本在华投资企业

5、的打分序号政治环境经济法律环境文化环境1555540652506045703454535754505050705555030756604045607655545758506035809404530651045504570解：比较日美两国在华投资企业对中国多方面经营环境的评价是否存在差异问题，就是两总体均值向量是否相等的检验问题。记日美两国在华投资企业对中国4个方面经营环境的评价可以看成是2个4元总体，因此可设两组样本分别来自于正态总体，分别记为：且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵假设检验构造统计量经计算得进一步计

6、算得对于给定的显著性水平，查F分布表，临界值由于，则拒绝H0，即认为日美两国在华投资企业对中国经营环境的评价存在显著性差异。(1)单因素方差分析（复习）Wilks（威尔克斯分布）在一元统计分析中，方差是刻画随机变量分散程度的一个重要特征，而方差的概念在多变量情况下变为协差阵。如何用一个数量指标来反映协差阵所体现的分散程度呢？有的用行列式，有的用迹等方法，目前用的最多的是行列式。这里需要说明的是，在实际应用中经常把Λ统计量化为T2统计量，进而再化为F统计量，利用F统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。（3）多元方差分

7、析类似一元方差分析办法，将诸平方和变成离差阵有：例3.3为了研究某种疾病，对一批人同时测量了4个指标：β脂蛋白（X1），甘油三酯（X2），α脂蛋白（X3），前β脂蛋白（X4），按不同年龄、不同性别分为三组（20至35岁女性、20至25岁男性和35至50岁男性），数据见表3.4~表3.6，试问这三组的4项指标间有无显著性差异？（α=0.01）表3.420至35岁女性身体指标化验数据序号β脂蛋白（X1）甘油三酯（X2）α脂蛋白（X3）前β脂蛋白（X4）12607540182200723417324087451841706

8、53917527011039246205130342371906927158200464515925011721201020010728201122513036111221012526171317064311414270763313151906034161628081201817310119251518270573181925067311420