多元正态总体均值向量和协差阵假设检验

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1、第三章多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。多元分析也涉及这方面内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设和。第二步，给出检验的统计量及它服从的分

2、布。第三步，给定检验水平a，查统计量的分布表，确定临界值，从而得到否定域。第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策（拒绝或接受）。由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不给出推导过程，最后给出几个实例。同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT2分布和Wilks分布的定义，它们分别是一元统计中t分布和F分布的推广。§3.1均值向量的检验为了对多元正态总体均值向量作检

3、验，首先需要给出HotellingT2分布的定义。1HotellingT2分布定义设且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心HotellingT2分布，记为。当时，称服从（中心）HotellingT2分布，记为，由于这一统计量的分布首先由HaroldHotelling提出来的，故称为HotellingT2分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T2分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。在一元统计中，若来自总体的样本，则统计量：分布其中显然，与上边给出的T2统计量形式类似，且。可见，T2

4、分布是一元统计中t分布的推广。基本性质：在一元统计中，若统计量分布，则分布，即把t分布的统计量转化为F统计量来处理，在多元统计分析中T2统计量也具有类似的性质。定理若且X与S相互独立，令，则这个性质在后面经常用到。2均值向量的检验设p元正态总体，从总体中抽取容量为n的样本。（1）已知时均值向量的检验检验统计量：（在H0成立时）给出检验水平a，查分布表使，可确定出临界值，再用样本值计算出，若，则否定H0，否则H0相容。这里要对统计量的选取作两点解释，一是说明它为什么取为这种形式。二是说明它为什么服从分布。一元统计中，当已知时，作

5、均值检验所取的统计量为：显然，与上边给出的检验统计量形式相同。另外根据二次型分布定理：若，则。显然，。其中，，因此，。（2）未知时均值向量的检验检验统计量：（在H0成立时）其中给定检验水平a，查F分布表，使，可确定出临界值，再用样本值计算出，若，则否定，否则相容。这里需要解释的是，当未知时，自然想到要用样本协差阵去代替，因（n-1）S-1是的无偏估计量，而样本离差阵再根据HotellingT2分布性质，所以3协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验设且两组样本相互独立，。（1）有共同已知协差阵时检验统计量：（在H0成立时）给出

6、检验水平a，查分布表使，可确定出临界值，再用样本值计算出，若，则否定H0，否则H0相容。在一元统计中作均值相等检验所给出的统计量：显然，此式恰为上边统计量当时的情况，不难看出这里给出的检验统计量是一元情况的推广。（2）有共同的未知协差阵时检验统计量：（在H0成立时）其中：给定检验水平，查F分布表使，可确定出，再用样本值计算出F，若，则否定H0，否则H0相容。当两个总体的协差阵未知时，自然想到用每个总体的样本协差阵和去代替，而从而所以下述假设检验统计量的选取和前边统计量的选取思路是一样的，以下只提出待检验的假设，然后给出统计量及

7、其分布，为节省篇幅，不做重复的解释。4协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验设且两组样本相互独立，分两种情况（1）n = m令 检验统计量：（在H0成立时）（2）不妨假设令检验统计量：5多个正态总体均值向量的检验（多元方差分析）多元方差分析是一元方差分析的推广。为此先复习一下一元方差分析，之后为了对多个正态总体均值向量作检验，自然地先给出Wilks分布的定义。（1）复习一元方差分析（单因素方差分析）设k个正态总体分别为，从k个总体取ni个独立样本如下：……H1：至少存在使检验统计量：（在H0成立时）其中……组间平方和……组内

8、平方和……总平方和给定检验水平,查F分布表使，可确定出临界值，再用样本值计算出F值，若则否定H0，否则H0相容。（2）Wilks分布在一元统计中，方差是刻划随机变量分散程度的一个重要特征，而方差概念在多变量情况下变为协差阵。如何用一个数量指标来反映协差阵所体现的分散程度呢？有