章前引言和勾股定理及其证明 (2)

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1、勾股定理的应用　　勾股定理的应用十分广泛，下面举例说明如下．　　一、求边长　　例1　已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.　　分析　本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到，于是不难求CD.即本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD.　　解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有　　　　∴∠2＝∠C　　又　　∴　　∴CD的长是2.4cm　　二、求面积　　例2　（1）观察图形思考并回答问题　（图中每个小方格代表一个单位面积）　　①

2、观察图1－1.　正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；　正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；　正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.　　②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？　　③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？　　（2）做一做：　　①观察图1－3、图1－4，并填写下表：　　②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？

3、　　（3）议一议：　　①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？　　②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？　　③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？　　分析　注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：　　①9　9　9　9　18　18；　　②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；　　③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.　　（2）①答案：　　②答案：.　　（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）

4、　　；　　②，　　.　　③成立.　　三、作线段　　例3　作长为、、的线段．　　分析　作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；　　2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；　　3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．　　证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，　　　　∵AB>0，　　∴AB=．　　其他同理可证．　　点评　由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就是．类似地也可作出……；将上图

5、无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看．　　四、证明平方关系　　例4　已知：如图，在中，，是边上的中线，于，求证：.　　分析　根据勾股定理，在中，，在中，，在中，，　　∴.　　又∵，∴.　　点评　证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.　　五、实际应用　　例7　台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，

6、每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.　　（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.　　（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？　　（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？　　分析　（1）由点A作AD⊥BC于D，　　则AD就为城市A距台风中心的最短距离　　在Rt△ABD中，∠B=30º，AB＝220，　　∴AD=AB=110.　　由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将

7、会受到台风影响．　　故该城市会受到这次台风的影响．　　（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，　　将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，　　该城市都会受到这次台风的影响.　　由勾股定理得　　∴EF＝2DE＝60.　　因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，　　所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.　　（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．　　点评　本例中提供了实际应用问题的情境，如何构造不同的直角三角形是解决此问题的关键，解题的出发点，首先应选择关键点，构造

8、直角三角形模型.