探索四点共圆的条件 (2)

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1、探索四点共圆的条件广州市第四十中学李立红【教学目的】1、运用课堂四步学习方式：“思、议、导、固”培养学生推理论证的能力，渗透数学的思想方法，发展形象思维。2、利用几何画板，培养学生的直观操作和逻辑推理能力。使学生能利用图形性质解决问题，发展学生的数学应用能力。3、让学生体会圆与四边形的关系，建立良好的知识联系。【教学难点】确定四点共圆的条件【教学过程】利用几何画板辅助教学一、思：提出问题：下面请大家一起来研究下列的问题，一起思考、讨论一下。引导学生分情况讨论：【提问，学生口答】1、过平面内任意一点能作几个圆？无数个。2、过平面内任意两点能作几个圆？无数个，圆心在两点的中垂线上。3、过平

2、面内任意三点能作几个圆？1)三点在同一直线上：不能作圆。2)三点不在同一直线上：只能作一个圆。此时即为作三角形的外接圆，圆心是三边中垂线的交点，半径为圆心到顶点的线段的长度。此时，三个顶点到圆心的距离相等，满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。4、过平面内任意四点能作几个圆？1）．四点在同一直线上：不能作圆。2）．四点不在同一直线上：三点共线，也不能作圆；任意三点不共线，可能可以作圆。引导学生思考：把四点顺次连接起来，得到一个四边形，问题转化为是否任意一个四边形都有外接圆。二、议：观察、探索四点共圆的条件1、观察下面的四边形，想一想，试一试，看看它们的四个顶点是否共圆？

3、若共圆，请作出它们的外接圆？正方形矩形等腰梯形菱形平行四边形直角梯形你发现了什么？引导学生利用几何画板，实验探究、思考：连接正方形、矩形的对角线，因为对角线的交点到四个顶点的距离相等，所以满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。对角线就是外接圆的直径，圆心为对角线的交点，可以作出它们的外接圆。作等腰梯形一腰和一底的中垂线，两中垂线的交点到四个顶点的距离相等，也满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上【板书】。以交点为圆心，交点到任一顶点的距离为半径可作出外接圆。而菱形、平行四边形、直角梯形都不能找到一个到四个顶点的距离都相等的点，即四个顶点都不在同一个圆上，所

4、以无法过其四个顶点作一个圆。通过实验，引导学生发现：可以作出外接圆的四边形除了它们的四个顶点都满足到定点的距离等于定长的条件外，它们的对角还互补，那么是否一个四边形的对角互补，它的四个顶点就一定共圆呢？2．探索一个任意四边形的四个顶点是否共圆：【提问多个学生】利用几何画板演示，引导学生观察、思考：因为任意一个三角形都有外接圆，所以我们可以先取四边形的三个顶点A、B、D，构造一个三角形，以其任意两边的中垂线的交点为外接圆的圆心，圆心到任一个顶点的距离为半径可以作一个圆。大家注意观察，随着点C的移动，四边形四个角的角度大小随之变化。我们发现：若四边形的对角互补，则第四个点正好落在圆上，此时

5、，A、B、C、D四点共圆。三、导：归纳小结：四点共圆的条件：1）到定点的距离等于定长的点在同一个圆上。2）如图，若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则A、B、C、D四点共圆。即若四边形的对角互补，则其四个顶点共圆【板书】。验证：用反证法，假设对角不互补的四边形的四个顶点共圆，得到不互补的对角所对应的圆心角的和不等于360°，得到矛盾，从而得证对角互补的四边形的四个顶点共圆。四．固：综合应用1．某生产队要把形状为等腰梯形的鱼塘扩建成圆形，但又不能毁坏鱼塘边的四棵古树，请大家帮忙画出鱼塘的最大位置。如图，古树位于A、B、C、D四点旁。解：作AB、BC的中垂线，两直线交点O即为圆心

6、，以OA为半径画圆，所得圆O即为所求。2．如图，⊿ABC是等边三角形，P是⊿ABC外一点，∠APB=120º，则A、P、B、C四点共圆吗？PC平分∠APB吗？解：∵在⊿ABC中，AB=AC=BC∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60º∵∠APB=120º∴∠APB+∠ACB=180º∴A,P,B,C四点共圆∵∠BPC=∠BAC,∠APC=∠ABC∴∠BPC=∠APC∴PC平分∠APB3、如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．求证：A、E、C、F四点共圆。第3题图证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD∴∠AEC=∠AFC=90°∵∠AEC+∠AFC=180°∴A、E、C、

7、F四点共圆五、谈谈你的收获：1）到定点的距离等于定长的点在同一个圆上。2）对角互补的四边形的四个顶点共圆。六、作业：练习纸剩下练习。探索四点共圆的条件班别：学号：姓名：一、思：提出问题：1、过平面内任意一点能作几个圆？2、过平面内任意两点能作几个圆？。3、过平面内任意三点能作几个圆？1)三点在同一直线上：2)三点不在同一直线上：4、过平面内任意四点能作几个圆？1）．四点在同一直线上：2）．四点不在同一直线上：二、议：观察、探索四点共圆的条件：1