弧长面积和扇形

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时间:2019-09-22

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1、24.4弧长和扇形面积(第1课时)教学内容1.n°的圆心角所对的弧长L=2.扇形的概念;3.圆心角为n°的扇形面积是S扇形=;4.应用以上内容解决一些具体题目.教学目标了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式,并应用这些公式解决一些题目.重难点、关键1.重点:n°的圆心角所对的弧长L=,扇形面积S扇=及其它们的应用.2.难点:两个公式的应用.3.关键:由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程.教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器

2、、纸板.教学过程一、复习引入(老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题.1.圆的周长公式是什么?2.圆的面积公式是什么?3.什么叫弧长?老师点评:(1)圆的周长C=2R(2)圆的面积S图=R2(3)弧长就是圆的一部分.二、探索新知(小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为R,则:1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.2.1°的圆心角所对的弧长是_______.3.2°的圆心角所对的弧长是_______.4.4°的圆心角所对的弧长是_______.……5.n°的圆心角所对的弧长是_______.(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到:n°的圆心角所

3、对的弧长为例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm)分析:要求的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可.解:R=40mm,n=110∴的长==≈76.8(mm)因此,管道的展直长度约为76.8mm.问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示:(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆

4、心,5m为半径的圆的面积.(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图:像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.(小黑板),请同学们结合圆心面积S=R2的公式,独立完成下题:1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.2.设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.3.设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.4.设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.……5

5、.设圆半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______.老师检察学生练习情况并点评1.3602.S扇形=R23.S扇形=R24.S扇形=5.S扇形=因此:在半径为R的圆中,圆心角n°的扇形S扇形=例2.如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积结果精确到0.1)分析:要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足.解:的长=×10=≈10.5S扇形=×102=≈52.3因此,的长为25.1cm,扇形AOB的面积为150.7cm2.三、巩固练习课本P122练习.四、应用拓展例3.(1)操作

6、与证明:如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(2)尝试与思考:如图a、b所示,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处,并将纸板绕O旋转,,当扇形纸板的圆心角为________时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为_______时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a.(a)(b)(3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为

7、a的正n边形的中心O点处,若将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为_______时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a,这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N,连结OA、OD.∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO,又∠MON=90°,∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地,当点M与点A(点

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