非线性控制系统(1)

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1、非线性控制系统硕士研究生课程2007年5月参考书目：《非线性系统》（第三版），HassanK.Khalil，电子工业出版社《非线性控制系统理论与应用》，胡跃明编著，国防工业出版社《非线性系统的分析与控制》，洪奕光程代展著，科学出版社第一章绪论1.1非线性模型和非线性现象一阶常微分方程组：输入变量状态变量时间变量状态方程输出方程状态空间模型无激励状态方程：自治系统/时不变系统：自治系统的平衡点：非自治系统/时变系统对于状态空间中的点x*只要状态从点x*开始，在将来的任何时刻都将保持在点x*不变，那么这点称为系统的平衡点。本质非线性现象：有限逃逸时间：非线性系统的状态可

2、以在有限时间内达到无穷多孤立平衡点：非线性系统可以有多个孤立平衡点，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一，收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。极限环：在现实生活中，只有非线性系统才能产生稳定振荡，有些非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，这类振荡就是一个极限环。分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡：非线性系统在周期信号激励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产生殆周期振荡。混沌：非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。特性的多模式：同一非线性系统显示出两种或多种模式。1.2示例1.2.1单摆

3、方程摆锤沿切线方向的运动方程：（k为摩擦系数）取状态变量：状态方程为：单摆方程解方程得平衡点：实际平衡点：单摆可以停留在平衡点（0，0）上，几乎不可能停留在平衡点（π，0）上。设k=0：1.2.2隧道二极管电路通过结点c的电流代数和为零：电压定律：取状态变量：隧道二极管电路的根为系统的平衡点1.2.3质量-弹簧系统为摩擦阻力为弹簧的回复力位移较小时：位移较大时：软化弹簧硬化弹簧阻力Ff包括：静摩擦力Fs库仑摩擦力Fc粘滞摩擦力Fv1.2.4负阻振荡器满足以下条件：变量代换：VanderPol方程1.2.7一般非线性问题作业：第2章二阶系统二阶自治系统：f(x)看成状

4、态平面的向量场所有轨线或解的曲线称为系统的相图。2.1线性系统的特性线性系统：解：M为实满秩矩阵Jr为实Jordan型Jr可取为：第一种情况两个特征值都为实数，线性坐标变换：称为稳定结点称为非稳定结点称为鞍点第二种情况特征值为复数，称为稳定焦点称为非稳定焦点称为中心第三种情况多重非零特征值，第四种情况一个特征值为零或两个特征值均为零对于给定的任何正数ε，总存在一个正数，使得如果A的每一个元素的扰动幅度都小于，那么扰动矩阵A+ΔA的特征值都将在以A的特征值为圆心，以ε为半径的开圆盘内。对于中心的实Jordan型扰动：当μ>0，则被扰动系统的平衡点是非稳定焦点。当μ

5、<0，则被扰动系统的平衡点是稳定焦点。当A有多重非零特征值时，无穷小的扰动会产生一对复特征值，因此稳定（或非稳定）结点会继续保持为稳定（或非稳定）结点，或者变为稳定（或非稳定）焦点。当A有一个零特征值时，零特征值的扰动会得到一个实特征值λ1=μ，μ可正可负。则此时被扰动系统有两个不相等的实数特征值，平衡点的类型取决于λ2和μ的符号。当A有两个零特征值时，考虑四种可能的Jordan型扰动，四种情况下被扰动系统的平衡点分别是中心、焦点、结点和鞍点。2.2多重平衡点隧道二极管电路：有摩擦力的单摆：2.3平衡点附近的特性非线性系统：p=(p1,p2)是非线性系统的平衡点，并

6、假设f1,f2连续可微。在(p1,p2)处按泰勒级数展开：定义：状态方程为：忽略高阶项：向量形式表示：其中：称为f(x)的雅可比矩阵雅可比矩阵在p点的计算值如果线性化后状态方程的原点对于不同的特征值是一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点，那么在平衡点的一个小邻域内，非线性状态方程的轨线就会具有一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点的特性。如果线性化后的状态方程在平衡点附近具有同样的特性，就把非线性状态方程的平衡点称为稳定（或非稳定）结点、稳定（或非稳定）焦点或鞍点。例2.3隧道二极管电路：解得三个平衡点分别为：特征值：-

7、3.57，-0.33特征值：1.77，-0.25特征值：-1.33，-0.4稳定结点鞍点稳定结点得到三个雅可比矩阵：平衡点分别为：例2.4单摆鞍点稳定焦点得到两个雅可比矩阵：如果一个平衡点的雅可比矩阵在虚轴上没有特征值，那么这个平衡点就是双曲型的。如果雅可比矩阵在虚轴上有特征值，那么非线性状态方程在平衡点附近的特性与线性化后的状态方程完全不同。例2.5（0，0）是该系统的一个平衡点在原点线性化后，雅可比矩阵的特征值为：中心用极坐标表示系统：时，轨线类似稳定焦点的轨线。时，轨线类似非稳定焦点的轨线。如果f(x)在平衡点的邻域内是解析函数，那么以下论述成立：对于线性