实际问题与二次函数——利润问题 (2)

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1、实际问题与二次函数教学目标：1．知识与技能：经历数学建模的基本过程。2．方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。3．情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。教学过程：一、创设情境、提出问题问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少

2、元？分析：没调价之前商场一周的利润为元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为元，每周的销售量可表示为件，一周的利润可表示为元，要想获得6090元利润可列方程。二、观察分析，研究问题问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大

3、？问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 3，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况。先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖____件，实际卖出____件，销售额为____元，买进商品需付___

4、_元，因此，所得利润为____元。[10x，300−10x，(60+x)(300−10x)，40(300−10x)，(60+x)(300−10x)−40(300−10x)][10x，300−10x，(60+x)(300−10x)，40(300−10x)，(60+x)(300−10x)−40(300−10x)]即：y=−10x2+100x+6000(0≤x≤30)x=−=5时，y最大值=−10×52+100×5+6000=6250所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物

5、线的顶点是函数图象的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值，由公式可以求出顶点的横坐标。解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40+x)(300-10x)(0≤x≤30)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x)+6000=-10［(x-5)2-25］+6000=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250定价:60+5=65（元）解:设每件降价x元时的总利润为y元y=(60-40-x)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-

6、20x2+100x+60003=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.小结：解这类问题一般的步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。三、知识整理，形成系统1．这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2．解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3．学到了哪些思

7、考问题的方法？3