四边形中的折叠问题

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时间:2019-09-23

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1、课题:矩形中的折叠问题城关一中---王利霞教学目标:知识与技能:灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.过程与方法:在分析三类基本折叠问题的过程中,体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观:通过综合应用数学知识解决折叠问题,体会知识间的联系,感受数学学习的乐趣.教学重点:解决矩形中的折叠问题.教学难点:综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.教学方法:引导探究式教学教学过程(一)课堂引入师:将矩形按不同要求进行折叠,就会产生丰富多彩的几何问题,今天我们BCDEFA就

2、来研究矩形的折叠问题.(二)讲授新课例1:如图,已知矩形,将沿对角线折叠,点C落在点处,BE交AD于点.师:根据图像,你能发现图中有哪些相等的线段和角吗?生:AB=DC=ED,BF=DF,AF=EF,BC=BE=AD;E=A=90°,ABF=EDF,FBD=FDB=DBC,BDC=BDE;师:由此,我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质?生:△EBD△CBD△ADB且都是直角三角形,△ABF△EDF;△FBD是等腰三角形;并且△EBD与△CBD关于直线BD对称,若连接EC,则BD垂直平分EC(对称轴垂直平分对应点之间的连线)

3、.师:我们将矩形纸片沿对角线进行折叠,折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形,以及轴对称图形,下面我们就来看看几个具体的问题:(1)若∠ADE=20°,求∠EBD的度数.(2)若,,求AF.解:(1)∵矩形ABCD中,∠C=90°,又∵翻折,∴∠E=∠C=90°,∵∠ADE=20°,∴∠EFD=70°.∵AD∥BC,∴FDB=DBC,又∵FBD=DBC,∴FBD=FDB,∴FBD=35°.(2)∵FBD=FDB,∴FB=FD,设AF为x,则FD=FB=8-x,在△ABF中,∠A=90°,,因此,,解得,∴AF=3.【小结】师生共

4、同小结,教师进行归纳:将矩形沿对角线进行折叠,我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手,分析出了图中相等的线段和角,找到了全等三角形,等腰三角形,从而解决了问题.ABCFEGD图中还隐含着一个重要的基本几何图形,即角平分线和平行线结合在了一起,这时会出现等腰三角形,这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形.例2:将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与点D重合,点A落在点G处.师:请你分析出图中存在着哪些数量关系.生:AB=DC=DG,BF=DF=DE,AE=EG=FC;G=A=90°,CD

5、F=GDE,DFC=DEG,BFE=DFE=FED;△DGE△DCF,且都是直角三角形,△DEF是等腰三角形;并且四边形EABF与四边形EGDF关于直线EF对称.师:下面我们来看具体问题:(1)判断四边形BFDE的形状;(2)若AB=2,BC=4,求折痕EF的长.ABCFEGDO解:(1)四边形BFDE是菱形证法一:∵B与D关于直线EF对称∴EF⊥BD,且BO=OD∵AD∥BC∴EO:OF=BO:DO∴EO=OF∴四边形BFDE是菱形.证法二:∵ED平行且等于BF∴四边形BFDE是平行四边形∵△DGE△DCF,ED=DF∴四边形B

6、FDE是菱形(2)∵四边形BFDE是菱形∴设FC为x,则FD=FB=4-x,在△DFC中,,因此,,解得,∴FC=1.5,BF=2.5又∵DC=2,BD=∴,EF=.这里问题的解法比较多,教师鼓励学生一题多解,给学生展示不同思路的机会.【小结】师生共同小结,教师适当归纳:例2中的图形是沿着某一直线折叠,使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角,全等三角形,等腰三角形,还有特殊的四边形——菱形.回顾例1、例2中两个计算边长的问题,勾股定理是解决此类问题的有力工具,并且两题都用到了和设未知数的方法,这里也体现了数学中的方

7、程思想.例3:如图,将矩形沿直线折叠,顶点恰好落在边上点处.问题:若,求tan∠DAE.师:请你先分析图形中的数量关系,写在学案上,然后独立完成问题.生:图中的主要关系有:,∽,,勾股定理可以用于任何一个直角三角形.解:∵∠B=∠C=∠AFE=90°,∠BAF+∠BFA=90°,∠BFA+∠EFC=90°,∴∠BAF=∠EFC,∴∴∽∴设EC为a,则EF=ED=3a,∴AB=DC=4a,∴AF=∴AD=∴tan∠DAE=【小结】师生共同小结:本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上,图中除出现全等三角形外,还出现了相似三角

8、形,相似的出现并不意外,这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形,即同一直线上出现三个直角(或60°角或120°角)时,则会出现相似图形.由此可见,在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.(三)课堂小结这节课我们研究了矩形折叠中的三类

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