专题09 分类讨论型问题-攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品（解析版）

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1、专题09分类讨论型问题【考点综述评价】在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．【考点分类总结】考点1字母的不同取值引起分类讨论【典型例题】（2017

2、浙江省宁波市）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为．【答案】4或．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数的图象上，二是AC边的中点在反比例函数的图象上，进而算出m的值．【方法归纳】解答绝对值化简、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等问题时，由于字母的不

3、同取值可能会引起分类讨论。【变式训练】（2017黑龙江省齐齐哈尔市）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）A．k=0　　　　　　B．k≥﹣1且k≠0　　　　　　C．k≥﹣1　　　　　　D．k＞﹣1【答案】C．【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．考点2研究对象对应关系的不确定性引起分类讨论【典型例题】（2017湖南省郴州市）如图，已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），

4、直线l：y=﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；学+科-网（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？【答案】（1）；（2）P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）；（3）①证明见解析；②点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18．【分析】（1）将点A和点C

5、的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可；（2）设P（m，），则F（m，﹣m﹣4），则PF=，当PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可；（3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可【解答】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的表达式为．（2）设P（m，），则F（m，﹣m﹣4），∴PF=（﹣m﹣4）﹣（）=．∵PE⊥x轴，∴PF∥OC，∴P

6、F=OC时，四边形PCOF是平行四边形，∴=4，解得：m=﹣②由①得∠ACD=90°．当△ACD∽△CHP时，，即或，解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．当△ACD∽△PHC时，，即或即．解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．综上所述：点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．【方法归纳】解答未明确底和腰的等腰三角形、未明确直角顶点的直角三角形、两角未明确对应关系的全等或相似等问题时，需要分类讨论．【变式训练】（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO

7、=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】或或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．综上所述：当△ABM为直角三角形时，AM的长为或或4．故答案为：或或4．考点3图形的不同位置引起分类讨论【典型例题】（2017黄冈）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，

8、沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个