二次函数思考与回顾

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1、二次函数思考与回顾一.教学内容：1.二次函数的概念2.二次函数y＝（≠0）的图像及性质、最值问题3.二次函数表达式的确定4.二次函数的平移问题5.二次函数与一元二次方程的关系6.二次函数的实际应用二.知识要点与学习：二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。目前的中考正面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数与图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容，目的是考查学生分析和理解问题的能力。1.二次函数的概念①一般地，如果y=ax2+bx+c（a

2、，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．例：已知函数y=（m+2）++6是关于x的二次函数.求:满足条件的m的值.分析：由二次函数的概念，可以得到，且≠0，所以解得或m=2.2.二次函数y＝（≠0）的图像及性质、最值问题（1）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质。（2）抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，

3、c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（－，5）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而减小，此时y有最大值为y=，顶点（－，）为最高点。例：根据y=2x2的图像，填空：抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，当x>0时，y随着x的增大而增大；当x<0时，y随着x的增大而减小，当x=0时，函数y的值最小，最小值是0。3.二次函数表达式的确定二次函数y=ax2+bx+c（

4、a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点横坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言，其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．用待定系数法求二次函数的解析式。在求二次函数解析式时，如果能根据已知条件，恰当设出解析式

5、，会给解题带来很大方便。现举例说明。如：已知抛物线经过（1，0），（3，0），（0，3）三点，求该抛物线的解析式。解法一（设一般式）：解设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把三点的坐标分别代入解析式y=ax2+bx+c，解方程组，即可求出a、b、c的值，从而求出该解析式。解法二（设交点式）：解设抛物线的解析式为y=a（x－x1）（x－x2），即可设y=a（x－1）（x－3），然后把点（0，3）坐标代入解析式y=a（x－1）（x－3），即可求出a的值，从而确定出该抛物线的解析式。解法三（设顶点式）：解设抛物线的解析式为y=a（x－h）2+k的形式，由点（1，0），（3，0）可

6、知，抛物线的对称轴为x=2，即抛物线顶点横坐标为2，即可设y=a（x－2）2+k，然后把点（0，3）和点（1，0），（3，0）中的任意一点代入解析式y=a（x－2）2+k，解方程组，即可求出a和k的值，从而确定出该抛物线的解析式。5比较三种方法，此题设交点式最为简便。一变：已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）点，且方程ax2+bx+c=0的两根分别为1和3，求该抛物线的解析式二变：已知抛物线经过（1，0），（0，3）两点，对称轴为x=2，求该抛物线的解析式。三变：已知抛物线经过（0，3）点，顶点坐标为（2，－1），求该抛物线的解析式。四变：已知抛物线对称轴为x=2，最小

7、值是－1，与y轴交点的纵坐标为3，求该抛物线的解析式。以上变式训练，一是要同学们能够根据题目不同的表达方式，了解到它们本质的相同点，比如抛物线与x轴交点坐标与一元二次方程的根的关系；抛物线对称轴、最值与顶点坐标的关系。二是让同学们能够掌握二次函数解析式的三种表达形式，并能通过分析比较灵活选取最恰当的设法，从而使运算变得更简便快捷。4.二次函数的平移问题抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴