二次函数复习及习题讲解

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1、二次函数一、课标下复习指南1．二次函数如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．2．二次函数的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是直线，顶点必

2、在对称轴上；(2)若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；当x＝，y有最小值；若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x＝时，y有最大值；(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为(0，c)；(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：当D＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与

3、x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当D＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当D＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．4．抛物线的平移抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．二、例题分析例1用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x(米)，矩形面积为y(米2)，写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并画出函数图象．解∵矩

4、形一边长x米，周长6米，∴矩形另一边长为(3－x)米．∴矩形面积y关于x的函数解析式为y＝x(3－x)即y＝－x2＋3x(0＜x＜3)．(函数图象如图8－1)图8－1注意列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2已知二次函数y＝ax2＋bx＋c符合下列条件，求它的解析式：(1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，)；(3)顶点在y轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)；(4)顶点在x轴上，对称轴x＝1，并且经过点(2，2)；(

5、5)对称轴是x＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x＋2＝0，并且在x轴截得的线段长为6．解(1)解得说明还可以由点的坐标之间的关系发现(－1，－1)与(2，－1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线．抛物线的对称性有时非常有用．(2)设y＝a(x－2)2＋1(a≠0)．∵抛物线经过点(3)由题意知顶点坐标为(0，4)．设y＝ax2＋4(a≠0)．∵抛物线经过点(1，3)，∴a＝－1．∴y＝－x2＋4．(4)由题意知顶点坐标为

6、(1，0)．设y＝a(x－1)2(a≠0)．∵抛物线经过点(2，2)，∴a＝2．∴y＝2x2－4x＋2．(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点．∵可设y＝a(x－1)(x－3)，由抛物线过(0，－3)点得a＝－1．∴y＝－x2＋4x－3．(6)∵抛物线与x轴交于(1，0)，(2，0)两点，∴设y＝a(x－1)(x－2)(a≠0)．由抛物线经过(3，6)点得到a＝3．∴y＝3x2－9x＋6．(7)∵抛物线与x轴的两交点关于对称轴x＝－2对称，∴两交点分别为(－5，0)，(1，0)．设y＝a(x＋5)(x－1)．由抛物线过点(－1，8)可得a＝－1．

7、∴y＝－x2－4x＋5．说明根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点式y＝a(x＋m)2＋n(a≠0)，或双根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)有助于简化计算过程．例3(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－2所示，且P＝

8、a－b＋c

9、＋

10、2a＋b

11、，Q＝

12、a＋b＋c

13、＋

14、2a－b

15、，则P，Q的大小关系为______；图8－2(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：图8－3①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(a

16、m＋b)(m≠1)，其中正确的结论有()．A．2个B．3个C．4个D．5个解(1)p＜Q由图8