专题复习：《线段和差最值问题》 (5)

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1、《线段和差最值问题》教学设计谷城县石花镇第一中学李绍平一、教学目标1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题；3.通过解决问题培养学生转化问题的能力，以及及时总结反思的良好习惯.二、学情分析从心理特点来看，九年级的学生思想成熟,有想法,对直观事物的感知能力强,想象力丰富,正逐步从形象思维过渡到抽象思维.在知识储备上,他们已经完成第一轮复习，具备一定的解决问题的能力，可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能

2、力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.所以,我们可以在教学过程中进行一些知识融合，使他们的分析问题、解决问题、总结反思等能力进一步提高.三、重点难点1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；2.综合运用所学知识解决线段和差最值问题；3.如何把线段和最小、线段差最大问题转化到同一直线上.四、教学过程（一）情景引入1.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2.如图，若A地、B地在河的同侧．牧马人在河边的什么地方饮马，可使所

3、走的路径最短？师生活动:情景引入1，问题简单，学生很快回答出来.在情景引入1的铺垫下，学生自然想到作对称点来解决情景引入2问题.设计意图:教师通过改编后的“将军饮马问题”引入，虽然有悖实际，但从理论上看，由易到难，能很好地服务于教学，让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.（二）合作探究一1.如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使点P到点B与点C的距离之和最小，求出点P的坐标.方法归纳：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点；(2)连接这个对称点与另

4、一点与直线相交；(3)交点即为所求点，此线段长即为该最小距离.2.变式如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使PA–PC的值最大，求出点P的坐标.方法归纳：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大时”的解题方法：(1)作其中一点关于这条直线的对称点；(2)连接另一点与这个对称点并延长与直线相交；(3)交点即为所求点，此时两线段差即为该距离差的最大值.师生活动:合作探究一的第1题是一种常见题型，学生独立思考后回答解题思路，并对求点P的坐标提出不同的方法.合作探究一的第2题是第1题变式，不常见，学生小组讨论交流后回答解题思路，总结解题

5、方法.设计意图:让学生通过解决线段和最小、线段差最大问题，体会解决线段和差最值问题基本策略和基本原理.（三）合作探究二1.如图，CF=BC，E是AB中点，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.方法归纳：求一个动点使线段和最小的问题，通常需要作一次对称；而求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称.2.拓展如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、

6、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由.方法归纳：求几条线段和最小的问题，通常是把这几条线段转移到同一条直线上去.师生活动:合作探究二的第1题，学生尝试回答解题思路，并相互补充，最后达成共识：求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称，将所求线段转移到同一条直线上去.合作探究二的第2题，是几条线段和最小的问题的拓展延伸，第⑵的②问有一定难度，若学生小组讨论交流后还存在困难，教师适当点拨:（1）由第（1）问的三角形全等可知线段AM、EN有

7、何数量关系？（2）由题目中的将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，联想到△BMN是什么三角形？从而可知线段BM、MN有何数量关系？（3）此时，AM＋BM＋CM就转化为EN＋MN＋CM，当M点在何处时，可使EN＋MN＋CM的值最小？师生共析，得出解题思路，总结解题方法。设计意图:通过解决合作探究二问题，拓展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，感悟转化思想，丰富数学活动经验.（四）巩固练习1.如图，中，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为_______.2.如图，正方形ABCD边长

8、为8，M在BC上，BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最小值为_______.3.如图,MN为⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°,点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为______.4.如图，∠AOB=4