数字信号处理教案(第16次课)

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1、4.4从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换对于模拟滤波器，已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器，切比雪夫滤波器等，每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也己制备了大量归一•化的设计表格和Illi线，为滤波器的设计和计算捉供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：也可把前两步合并成一步，肓接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计，设计过程如下：频率变换

2、模拟原型7—数字低通、高通、带通、带阻下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本方法，着重讨论双线性变换法。1)2)3)4)双线性变换法由模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率｛3』。由变换关系将｛(叩映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值｛QJ。根据｛QJ设计模拟滤波器的Ha(s)o把Ha⑸变换成数字滤波器传递函数H(z)o低通变换例1.设采样周期T=250^s(fs=4khz)，设计-•个三阶巴特沃兹LP滤波器，其3dB截止频率fc=lkhzo分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解:a.脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是

3、线性的，所以可直接按Qc=2nfc设计Ha(s)o尹据上节的讨论，以截止频率Qc归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数=以s/Q代替其归一化频率，得：也可以查表得到巴特沃兹多项式的系数，Z后以S/Q代替归一化频率，即得Ha(s)。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构:了+£上s心d_j书廿Zs心Q十j®2对照前而学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式有4=2曉=一2：岀=-£衣鸟严将上式系数代入数字滤波器的传递函数：hy日一昌，為Si:极点-/^"2;禺二-吟二

4、-龟(1打石”2并将Qi/T代入，计算得：H(Z｝=盹仔+_阳后严*-他/伍＞・砂~l-e~^ZA松z"1合并上式后两项，并将=代入，计算得：-1.571+O,5541^1j+1-0.19052^+020792^!可见，11(Z)与采样周期T有关，T越小，II(Z)的相对增益越人，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H(Z)后，再乘以因子T,使H(Z)只与讥有关，即只与fc和fs的相对值fc/fs有关，而与采样频率fs无直接关系。例如,fs=4KH乙仁二1KHZ与f>4KHZ,fFlOKHZ的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤'縫菩计。I.血

5、后年7S7W(L!S54nT"1-0207血11-0190%l+0XT?9fb.双线性变换法(一)首先确定数字域临界频率=.(二)根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率Q=夕创亍

6、=亍(三)以S/Qc代入归—•化的三阶巴特沃模拟器传递函数V>石丽丽矽丽Q7并将qc=2/T代入上式。(四)将双线性变换关系代入，求H(Z)o如t=a*-z-1J+2a-z"1)i+z_

7、率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最示在折叠频率处(Z二1,3二兀)形成一个三阶传输零点，这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点通过映射形成的。因此，双线性变换法使过渡带变窄，对频率的选择性改善，而脉冲响应不变法存在混淆，且没有传输零点。。高通变换⑶变换方法的选川设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：①先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型一►模拟高通、带通、带阻一►数字高通、带通、带阻设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定｛3订—转换为相年的｛Qk｝高通、带通、带阻牧拟滤波器的设计I-Ia(s)

8、►Ha(Z)②直接利川模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻这里只讨论笫二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。变换方法的选用：1.脉冲响应不变法:对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波辭后才可用。因此，使用直接频率变换(第二种方法)，对脉冲响应不变法要许多特殊的考虑，它一-般应用于笫-•种方法中。2.双线性变换法