数字信号处理教案(第10次课)

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1、第3章离散傅里叶变换及其快速算法§3.1离散傅里叶变换(DFT)为了便于更好地理解DFT的概念，先吋论周期序列及其离散傅里叶级数(DFS)表示。§3.1.1离散傅里叶级数(DFS)一个周期为N的周期序列，即x(n)=x(n+kN),为任意整数，W为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-oo到+oo都周而复始永不衰减，即z〒面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号讨用傅氏级数表达，周期序列也4用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。周期为N的正弦序列其基频成分为：e'(n)=ej⑽心K次谐波序列为：ek(n)=e伽N、kn但离散级数所柯谐

2、波成分屮只柯N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处，即^./(2^/yV)((A»+/V)n)_ej(2^!N)kn因此ek+N⑻二么⑻将周期序列展成离散傅麗叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分虽，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，j(27T/N)kn1〜I⑻=又(幻eNk=q利用正弦序列的周期性可求解系数父⑻。将上式两边乘以e-啊卽n,并对一个周期求和〜-7V=0

3、散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。X(k)^叉(M)是一个周期序列的离散傅甩叶级数(DFS)变挽对，这种对称关系可表为:N-x(n)=IDFS[Xa)]=-Y^We"=0j(2n!N)nkAMX(k)=DFS[x(n)]=^x(n)e-j^,N}kH'i=0•>J惯上：记WN=e~^l7r：N^DFS变换对公式表明，一个周期序列过然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容(一个周期内信号的变化情况)，其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是冇用的，因此周期序列行限长序列行着木质的联系。DFS的几个主要特性：1)线性2)序

4、列移位3)共轭对称性4)周期卷积若F(k)=X(k)Y(k)则f(n)=/DF5(Fa)]=/n=0ujz^-1=^y(m)x(n-m)m=Q由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式,/V-1若f(n)=x(n)y(n)1AMizv-1则F(k)=DFS[f(n)]=—，)=77[叉(々-破⑺/=()/=()§3.1.2离散傅里叶变换(DFT)•个有限长序列x(n),长为N，我们知道周期序列实际上只有有限个序列值奋意义，因此它的许多特性可推广到奋限长序列上。.(%(/?)0

5、序列又(n)，它由长度为N的有限长序列x(n)延OO扔irfn成，它们的关系：x(n)=rN)厂=—oox{n)=X(/2)0<72<-10其它n周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列又⑺)，定义其第一个周期n=0〜N-1,为又⑻的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与列/2)的关系可描述为：fx(n)是x(zt)的周期延拓⑻是2⑻的”主值序列’•数学表示：⑻=x(⑻)v[X/0=又⑻心⑻=4⑻)〜/?,,、,⑻Rn(n)为矩形序列，符号((n))N是余数运算表达式，表示n对N求余数。频域上的主值区间与主值序列：周期序列列W的离散付

6、氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主位区间0幺々幺7V—1，以及主值序列X(k)。数学表示：[x(k)=X(k)RN(k)长度为N的其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的奋限长序列,它们的关系为：AMX、k、=DFT[x(n)]=^x(/2)W^0

7、列隐含着周期性。DFT特性：(1)钱性(2)循环移位(3)循环卷积(4)有限长序列的线性卷积与循环卷积(5)选频性(对oO有限制)循环卷积过程.•1)由有限长序列x(n).y(n)构造周期序列叉⑻与列八)N-2)计算周期卷积/⑻蜘Wi)3)卷积结果取主值f(n)=?(n)RN⑻